Bei dem getrockneten Schlamm (s. u.) stießen wir gerade auf folgendes Problem. Ich kenne (aus der Botanik) folgende empirisch gefestigte Beobachtung: Wenn man eine Fläche mit zufälligen Polygonen pflastert (wobei an einem beliebigen Eckpunkt immer genau 3 Seiten aneinander stoßen), dann beträgt die häufigste Zahl der Ecken 6 (mit Abstand!). Ich vermute sogar, dass die durchschnittliche Eckenahl genau 6 beträgt. Kann man das beweisen?
Mein erster Ansatz wäre: Die Winkelsumme an einem Eckpunkt muss 360° betragen. Wenn man das auf drei Winkel aufteilt kommt man auf durchschnittlich 120°. Vielecke mit Eckenwinkeln von jeweils 120° sind Sechsecke. Aber das ist ja kein strenger mathematischer Beweis…
Bei dem getrockneten Schlamm (s. u.) stießen wir gerade auf
folgendes Problem. Ich kenne (aus der Botanik) folgende
empirisch gefestigte Beobachtung: Wenn man eine Fläche mit
zufälligen Polygonen pflastert (wobei an einem beliebigen
Eckpunkt immer genau 3 Seiten aneinander stoßen), dann beträgt
die häufigste Zahl der Ecken 6 (mit Abstand!). Ich
vermute sogar, dass die durchschnittliche Eckenahl
genau 6 beträgt. Kann man das beweisen?
dann beträgt
die häufigste Zahl der Ecken 6 (mit Abstand!). Ich
vermute sogar, dass die durchschnittliche Eckenahl
genau 6 beträgt. Kann man das beweisen?
Man hat -irgendwo und irgendwie- herausgefunden, dass die Form
eines Sechsecks einen Raum optimal füllt.
Das ist schon richtig, aber es war nicht meine Frage: Ich fragte nicht nach der optimalen Flächenfüllung, sondern nach irgendeiner zufälligen Flächenfüllung. Vielleicht schaust Du Dir folgende Abbildung an, dann wird es klarer:
Wenn ich richtig gezählt habe, dann gibt es unter den vollständig abgebildeten Polygonen (in dem Fall: Pflanzenzellen)
6 Fünfecke
17 Sechsecke
7 Siebenecke
1 Achteck
Die durchschnittliche Anzahl der Ecken beträgt 6,097. Ich behaupte: Wenn die Fläche unendlich groß wäre, konvergiert diese Zahl gegen 6. Ich bin mir fast sicher, dass dies stimmt, kann es aber nicht beweisen. Vielleicht hat ja irgendjemand eine Idee…
Der Beweis ist dann doch einiges einfacher, als ich gedacht hätte. Zunächst wollte ich Dich noch nach einem Beweis für den Eulerschen Polyedersatz fragen, den man dafür braucht, habe aber inzwischen eine Seite gefunden, wo nicht weniger als 19 Beweise für diesen Satz angegeben sind: http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/euler/
das wird man so nicht beweisen können, weil auch Quadrate ein Fläche optimal füllen - im Gegensatz zu Sechsecken sogar manchmal zu 100% trotz begrenzter Fläche. Dreiecke übrigens auch, Fünfecke unregelmässig (Penrose).
Dass für Biene Sechecke besser sind, liegt hauptsächlich daran, dass ihr Nachwuchs rund ist.
Gruss Reinhard
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