Hallo Mathematiker,
f(x) = x^5 + 2x^3 − x^2 − 2
Dass es für
f(x) = -1
mindestens eine Lösung für x zwischen 0 und 1 gibt, kann man ja schnell herausfinden. Aber wie kann man das begründen?
Wer kann einem Mathe-Opa auf die Sprünge helfen?
Manfred
moin;
mir würde auf Anhieb folgendes einfallen:
x5+2x3-x2-2=-1
x5+2x3-x2=1
x5+2x3=x2+1
hieraus folgt bereits, dass x positiv sein muss, und für x>=1 wachsen die höheren Potenzen schneller an als die niedrigeren, sodass dort keine Lösung liegen kann.
Ein vielleicht etwas hübscherer „Beweis“: f(x) ist für x>=~0,31 (also auch für x>=1) streng monoton wachsend, da dort die erste Ableitung >0 ist. Demzufolge gilt:
x>=1 => f(x)>=f(1)
f(x)>=0.
Demzufolge kann der Funktionswert für x-Werte >= 1 nicht mehr den Wert -1 annehmen, dass x>=0 sein muss, folgt daraus, dass x²+1 immer positiv ist (könnte man allerdings auch beweisen, da f(x) im negativen Bereich ebenfalls immer streng monoton wachsend ist).
Damit muss für den gesuchten x-Wert xg also gelten:
0g
Hallo Mr. Suichiro,
mir würde auf Anhieb folgendes einfallen:
… davon träume ich.
Vielen Dank, hat mir sehr geholfen.
Manfred
Hallo,
Dass es für f(x) = -1 mindestens eine Lösung für x zwischen 0 und 1 gibt, kann man ja schnell herausfinden. Aber wie kann man das begründen?
da f als Polynomfunktion stetig ist, bemüht man einfach den Zwischenwertsatz (oder schaut sich dessen Beweis an): http://de.wikipedia.org/wiki/Zwischenwertsatz
Andreas
Danke. Wieder was gelernt. owT
nix