Polynombeweise

[Anonym]

Ich habe keine Ahnung, was man da machen muss. Kann jemand mir bitte eine nachvollziehbare Lösung geben. Danke sehr für die Mühe.

Für n aus IN sei Pn (IR) der reelle Vektorraum der Polynomfunktionen höchstens n. Wir wählen t aus IR und definieren eine Funktion f: Pn (IR) -> Pn (IR) durch f§(x) =p(x-t) für p aus Pn (IR) und x aus IR.

1)Wie geht der Graph von f§ aus dem Graphen von p hervor.

2)Zeigen Sie, dass f den Grad erhält, dass für jedes p aus Pn (IR) die Gleichung
deg( f§ ) = deg§ gilt.

3. Zeigen Sie, dass f eine bijektive lineare Abbildung ist.

[jns4sen]

Hallo needhelp,

Für n aus IN sei Pn (IR) der reelle Vektorraum der
Polynomfunktionen höchstens n. Wir wählen t aus IR und
definieren eine Funktion f: Pn (IR) -> Pn (IR) durch
f§(x) =p(x-t) für p aus Pn (IR) und x aus IR.

1)Wie geht der Graph von f§ aus dem Graphen von p hervor.

Verschiebung entlang der x-Achse (Überleg mal, in welche Richtung).

2)Zeigen Sie, dass f den Grad erhält, dass für jedes p aus Pn
(IR) die Gleichung
deg( f§ ) = deg§ gilt.

Etwas krumm, der Satz, er soll wohl heißen: "Zeige, dass p und f§ vom selben Grade sind.

Sei also p vom Grad m∈IN^≤n, d.h. p(x)=Σ(a_ixⁱ, i=0…m) mit a_m≠0.
Dann folgt

f(p(x))=Σ(a<sub>i</sub>(x-t)<sup>i</sup>, i=0..m)
=Σ(a<sub>i</sub>Σ([i|j]x<sup>j</sup>(-t)<sup>i-j</sup>, j=0..i), i=0..m)
=Σ(Σ(a<sub>i</sub>[i|j]x<sup>j</sup>(-t)<sup>i-j</sup>, j=0..i), i=0..m)
=Σ(x<sup>j</sup>Σ([i|j]a<sub>i</sub>(-t)<sup>i-j</sup>, i=j..m), j=0..m)

Hierbei soll [i|j] den Binomialkoeffizienten „i über j“ darstellen. Es muss jetzt noch gezeigt werden, dass

Σ([i|j]a<sub>i</sub>(-t)<sup>i-j</sup>, i=j..m)

für j=m ungleich Null ist:

Σ([i|n]a<sub>i</sub>(-t)<sup>i-n</sup>, i=m..m)
=[m|m]a<sub>m</sub>(-t)<sup>m-m</sup>
=a<sub>m</sub>
≠0

, nach Voraussetzung.

3. Zeigen Sie, dass f eine bijektive lineare Abbildung ist.

Linearität:
Es muss gezeigt werden, dass für alle r∈IR und p,q∈Pn(IR) gilt: f(rp+q)=rf§+f(q).

f(rp+q)(x)=f(rΣ(a<sub>i</sub>x<sup>i</sup>, i=0..mp)+Σ(b<sub>i</sub>x<sup>i</sup>, i=0..mq))
=f(Σ((ra<sub>i</sub>+b<sub>i</sub>)x<sup>i</sup>, i=0..max(mp,mq))
=Σ((ra<sub>i</sub>+b<sub>i</sub>)(x-t)<sup>i</sup>, i=0..max(mp,mq)
=rΣ(a<sub>i</sub>(x-t)<sup>i</sup>, i=0..mp)+Σ(b<sub>i</sub>(x-t)<sup>i</sup>, i=0..mq)
=rf(Σ(a<sub>i</sub>x<sup>i</sup>, i=0..mq))+f(Σ(b<sub>i</sub>x<sup>i</sup>, i=0..mq))
=rf(p)(x)+f(q)(x)

Dies gilt für alle x∈IR, also folgt f(rp+q)=rf§+f(q).
(Hierbei wurde angenommen, dass (i>mp => a_i=0) und (i>mq => b_i=0) gilt.

Bijektivität:
Da f linear ist, genügt es, eine spezielle Basis des Vektorraumes zu betrachten. Eine besonders einfache Basis ist gegeben durch

B={p<sub>i</sub>, i=0..n} mit p<sub>i</sub> = ( x→x<sup>i</sup> ).

Es gilt nun

f(p<sub>i</sub>)(x)=f(x<sup>i</sup>)
=(x-t)<sup>i</sup>
=Σ([i|j]x<sup>j</sup>(-t)<sup>i-j</sup>
=Σ([i|j]p<sub>j</sub>(x)(-t)<sup>i-j</sup>

also

f(p<sub>i</sub>)=Σ([i|j]p<sub>j</sub>(-t)<sup>i-j</sup>.

Die Abbildungsmatrix von f bezüglich der Basis B lautet demnach

 1 0 0 ... 0 ... 0
(-t)<sup>1</sup> 1 0 ... 0 ... 0
(-t)<sup>2</sup> -2t 1 ... 0 ... 0
...
...
...
(-t)<sup>n-2</sup> [n-2|n-3](-t)<sup>n-3</sup> [n-2|n-4](-t)<sup>n-4</sup> ... 0 ... 0
(-t)<sup>n-1</sup> [n-1|n-2](-t)<sup>n-2</sup> [n-1|n-3](-t)<sup>n-3</sup> ... 1 ... 0
(-t)<sup>n</sup> [n|n-1](-t)<sup>n-1</sup> [n|n-2](-t)<sup>n-2</sup> ... [n|1](-t)<sup>1</sup> ... 1

Dies ist offenbar eine Dreiecksmatrix mit Einsen auf der Diagonalen. Die Determinante ist somit 1 und also ungleich Null. Folglich ist
f(B)=f{p_i, i=0…n}={f(p_i), i=0…n} eine Basis von Pn(IR), womit die Bijektivität von f bewiesen ist.

Viele Grüße
Jens

[Enno_Sandner_66c4aa]

Hallo,

Für n aus IN sei Pn (IR) der reelle Vektorraum der
Polynomfunktionen höchstens n. Wir wählen t aus IR und
definieren eine Funktion f: Pn (IR) -> Pn (IR) durch
f§(x) =p(x-t) für p aus Pn (IR) und x aus IR.

1)Wie geht der Graph von f§ aus dem Graphen von p hervor.

Durch Verschiebung des Graphens von p und t Einheiten nach rechts auf der x-Achse (muß man hier etwas beweisen ?)

2)Zeigen Sie, dass f den Grad erhält, dass für jedes p aus Pn
(IR) die Gleichung
deg( f§ ) = deg§ gilt.

Nimm p(x)=summe_{1aixⁱ und betrachte
p(x-t)=summe1ai(x-t)ⁱ
am höchsten Exponenten ändert sich hierdurch nichts. Exakter kann man dies z.B. durch den binomischen Lehrsatz begründen.}

3) Zeigen Sie, dass f eine bijektive lineare Abbildung ist.

1 Injektiv.
Sei f§=f(q), d.h. p(x-t)=q(x-t) für alle x. Das kann man jetzt entweder wie bei zwei Brute-Force mit dem binomischen Lehrsatz und Koeffizientenvergleich zeigen oder man betrachtet das ganze in C und wendet den Fundamentalsatz der Algebra an, nach dem jedes Polynom n-ten Grades in n Linearfaktoren zerfällt und folgert darüber die Gleichheit der beiden Polynomfunktionen.

Surjektiv: p’(x)=p(x+t) ist ebenfalls vom Grad deg§.

Linear: also rf§=f(rp)
rf§(x)=rp(x-t)=f(r*p)

f(p+q)(x)=(p+q)(x-t)=p(x-t)+q(x-t)=f§+f(q).

Gruss
Enno