Dracanische Maßnamen
Hallo, Martin und Freunde, es ist mir eine Freude, die Cardanische Methode (in leicht abgewandelter eigener Version) an iesem konkreten Beispiel einmal vorzuführen.
Das ganze Rätsel besteht im wesentlichen in der Umwandlung der Gleichung 3ten Grades in eine „triquadratische Gleichung“.
f(x)=x³+x²-3,75 = 0 für welche x?
Funktionsgraph ergibt Nullstelle bei xo = ~1,3
BERECHNUNG frei nach Cardano:
a) Eliminierung des quadratischen Gliedes:
x³+x²-3,75 = {(x+1/3)^3 - x^2 - x/3 - 1/9} + x^2 -3,75 =
(x+1/3)^3 - x^2 + x^2 - x/3 - 1/9 -3,75 =
(x+1/3)^3 - x/3 - 1/9 - 3,75 =
b) Vorbereitung der Substitution
(x+1/3)^3 - x/3 - 1/9 - 3,75 =
(x+1/3)^3 -(x+1/3)/3 + 1/9 - 1/9 - 3,75 =
(x+1/3)^3 -(x+1/3)/3 - 3,75 =
z^3 - z/3 - 3,75 mit z = x + 1/3
c) Leicht abgewandelter „Trick“ von Cardano:
mit z = z-v+v ist
z^3 - z/3 - 3,75 = (z-v+v)^3 - z/3 - 3,75 =
(z-v)^3 +3*(z-v)*v*z + v^3 - z/3 - 3,75 =
(z-v)^3 +3*(z-v)*v*z - z/3 + v^3 - 3,75 =
Nun kommt die Erfindung der „imaginären“ (eingebildeten) Zahlen:
Wenn es solch ein v gäbe, daß die die beiden mittleren Summanden mit dem z-Faktor sich gegenseitig aufhöben, also wenn 3*(z-v)*v*z - z/3 = 0 möglich wäre, bliebe von der Gleichung ja nur:
(z-v)^3 + v^3 - 3,75 = 0 und da dann z-v = 1/9v wäre, (1/9v)^3 + v^3 - 3,75 = 0 malnehmen mit v^3 ergibt:
(1/9)^3 + v^6 - 3,75v^3 = v^6 - 3,75v^3 + 1/9^3 = 0
Damit ist die "triquadratische Gleichung fertig!
c) PQ-Formel ergibt:
v1,2^3 = 1,875 +/- Wrz[1,875^2 - 1/9^3] =
1,875+/-1,8746342 = ~3,75 und ~0,000366 also
v1 = ~1,553566
v2 = ~0,07152
d1) Rückeinsetzen z = 1/9v + v ergibt:
z1 = 1/(9*1,553566) + 1,553566 = 1,625
z2 = 1/(9*0,07152) + 0,07152 = 1,625
Wie man sieht ein einziges Ergebnis, und das ist „normal“, in diesem Falle ist es notwendig identisch.
d2) Rückeinsetzung x = z - 1/3 ergibt
x1 = x2 = 1,625 - 1/3 = ~1,292
was dem Graphen entsprechen TUT!
Natürlich haben sich leichte Rundungshelfer eingeschlichen!
Dwennoch kann man „polynomdividieren“:
(x^3 + x^2 - 3,75)/(x-1,292) = x^2 + 2,292x + 2,961
x^3 - 1.292x^2
2,292x^2
2,292x^2 - 2,961x
2,961x - 3,75
2,961x - 3,826
Rest 0,076 - so what???!!! NIL!Nought!
Restpolyninom also r(x) = x^2 + 2,292x + 2,961 mit den beiden konjugiert-komplexen Nullstellen
xo2,3 = -1,146 +/- Wrz(-1,6477) = -1,146 +/- 1,284i
Zum Problem der „erratenen Polynomdivision“, also wenn man nicht die exakte Nullstelle hat wegen Newton orso:
Nach dem Fundamentalsatz der Algebra zerfällt ein Polynom 3ten Grades ja immer in das Produkt eines reellen Linearfaktors mal einen quadratischen Prim- oder Nichtprimfaktor, also in (x-µo)*(x^2+px+q).
Wenn man nun µo nicht exakt weiß, also ein µ = µo + d gefunden hat, mit natürlich möglichst kleinem |d|, dann sieht die Zerlegung wie aus?
(x-µ)*(x^2+px+q) immer gleich 0, und das ist gleich
(x-µo-d)*(x^2+ax+b) = 0 für x = µ natürlich nur.
Und das ist gleich:
(x-µo)*(x^2+ax+b) - d*(x^2+ax+b) und f. x=µo = 0 =
(x-µo)*(x^2+px+q) + (x-µo)*(ax+b-px-q) - d*(x^2+ax+b)=
0 + 0 - d*(x^2+ax+b)
also je kleiner d, desto besser auch a und b!!
Habt ihr beiden euch auch schon Gedanken über den Fundamentalsatz der Algebra am denken tun getan?
Und habt trotz mainer Schraibe meinen noilichen „Gegenbewais“ und meine eigene Aufklärung verfolgt?
Und warum ist das Problem noch nirgens in der Literatur aufgetaucht?
Wär das nicht ein Thema für eine Pissertation?
Und wie findet ihr meine anschauliche Definition der imaginären Einheit „i“ als „Wegwendung, die keine Abwendung ist, nur ihre Doppelausführung!“
Ich persönlich wende mich ja manchmal auch nur weg von dieser schnöden Welt, „schnief“, „rümpf“!
Und habt ihr unsere Besprechung hier im Forum vor einiger Zeit über die Herleitung der Eulerschen Formel
e^[ix] = cosx + isinx eigentlich mitgekricht?
Unter anderem meine „hôpital-moifrische Herlaitung“, die gleichzeitig die limes-Definition von e^x wieder auf den Thron erhebt.
Zum Schluß ein oich vielleicht bereits bekannter Appetizer aus meiner Giftküche, eine Variation des Wallis´schen Produktes:
Was ergibt das unendliche Produkt
(1/2)*(4/3)*(5/6)*(8/7)****([4n-3]/[4n-2])*(4n)*(4n-1)**
??? Und vor allem warum???
Das war mein Zugang zur Gammafunktion vor einigen Jahren! Inzwischen binnich zeternder Grammatiker…
Und für Frischlinge zur Einführung:
Was ist das (konvergente) Ergebnis von:
(1+1/2)*(1+1/4)*(1+1/16)*(1+1/256)***(1+1/2^2^n)**
und vor allem, warum???
Für leichte Fortgeschrittene:
Prod{1-1/n^2},1
