hi
bin da auf etwas gestossen was mir nicht so ganz klar ist:
Ist P ein Polynom und c eine reelle Zahl, so
ist x-c genau dann ein Linearfaktor von P(x), wenn P©=0
ich bin ganz neu auf dem gebiet und bin soweit:
P z.B. 3*x^2 + 2*x
=> c = 1/3 ; c = -1;
was ist jetzt x und was bedeutet linearfaktor in diesem zusammenhang?
danke, volker
P z.B. 3*x^2 + 2*x
=> c = 1/3 ; c = -1;was ist jetzt x und was bedeutet linearfaktor in diesem
zusammenhang?
Nun, entweder du hast dich vertippt oder verrechnet, aber weder 1/3 noch -1 ist eine Nullstelle des oben genannten Polynoms.
Das Polynom hat aber 0 als Nulstelle.
Aber auch damit kann deine Fasge beantworten:
Offenkundig ist also c=0 eine Nullstelle von P(x). Welche Nullstellen hat P(x) noch?
Um das herauszufinden bedient man sich der Polynomdivision mit einem Lienarfaktor. Letzterer ist selbst ein Polynom, welches irreduzibel ist, d.h. es ist nicht Produkt von anderen Polynomen, deren Grad mindestens 1 beträgt. Innerhalb der reellen Zahlen ist also jedes Polynom der Form (x-t) mit t aus R irreduzibel, außerdem aber auch z.B. (x²+1) (wieso das so ist, kommt weiter unten).
In Siesem Sinne sind die Linearfaktoren also mit den Primzahlen vergleichbar und die Lienarfaktorzerlegenung mit der Primfaktorzerlegung.
Hat man eine Nullstelle c gefunden, kann man den Linearfaktor (x-c) bilden und P(x) durch diesen teilen. Heraus kommt 3x+2. Dieses Polynom hat die Nullstelle d=-2/3.
Da wir wissen, daß Polynome n-ten Graddes höchstens n Nulstellen haben können, ist nun Schluß.
Nun ergibt sich aber, daß eben wegen jener Zerlegung gilt:
(x-0)*(x-2/3) = x(x-2/3) = 3x²+2x
An den beiden Faktoren lassen sich die Nullstenn aber besonders leicht ablesen.
Besitzt man also Kenntnis von einer Nullstelle, kann man mittels polynomdivision mit dem Linearfaktor P(x) zu P’(x) reduzieren und muß nur noch die Nullstellen von P’(x) berechnen.
x²+1 ist irreduzibel, weil i und -i die Nullstellen sind, allerdings in C! „Dort“ gilt natürlich x²+1 = (x+i)(x-i). so kann es also passieren, daß in R irreduzible Polynome hohen Grades auftreten können, was in C nicht möglich ist.
Gruß
Tyll
Nun, entweder du hast dich vertippt oder verrechnet,
oh, da hab ich ausversehen die falsche angegeben …
Das Polynom hat aber 0 als Nulstelle.
Hat man eine Nullstelle c gefunden, kann man den Linearfaktor
(x-c) bilden und P(x) durch diesen teilen. Heraus kommt 3x+2.
komm nur halb mit. also diser fall war ja recht ungünstig:
wenn ich mich nicht verrechne eignet sich
2*x^2-2*x-4
ganz gut. hier findet sich eine nullstelle bei -1;
wenn ich dich richtig verstanden hab ist der linearfaktor dann
x+1
… und man hätte dann so fortzufahren:frowning:?)
(2*x^2-2*x-4)/(x+1)
vereinfachen tut es die funktion nun ja nicht gerade … oder hab ich dich falsch verstanden?
noch was:
x(x-2/3) = 3x²+2x
äh? wieso nicht x^2 - 2/3*x ?
Besitzt man also Kenntnis von einer Nullstelle, kann man
mittels polynomdivision mit dem Linearfaktor P(x) zu P’(x)
reduzieren und muß nur noch die Nullstellen von P’(x)
berechnen.
vorher hast du den vergleich mit der primfaktorzerlegung gebracht. wieso ist eine zerlegung (bei dem polynom) nur mit hilfe einer bestehenden lösung möglich? wenn sich ein polyom aus mehreren polynomen zusammensetzt (die jeweils eine lösung liefern), müßten sich diese doch auch von vornherein ermitteln lassen …
oder bin ich da auf dem holzweg?
naja, vielen dank für weitere hilfe, volker
wenn ich mich nicht verrechne eignet sich
2*x^2-2*x-4
ganz gut. hier findet sich eine nullstelle bei -1;
wenn ich dich richtig verstanden hab ist der linearfaktor dann
x+1
vollkommen richtig!!
… und man hätte dann so fortzufahren:frowning:?)
(2*x^2-2*x-4)/(x+1)
vereinfachen tut es die funktion nun ja nicht gerade … oder
hab ich dich falsch verstanden?
Der ansatz ist richtig. Der obige Quotient läßt sich aber „kürzen“ und genau das ist das praktische an Linearfaktoren: Es geht auf!
Der Vorgang nennt sich dann Polynomdivision und ist wortgetreu zu verstehen: Man teilt ein Polynom durch ein anderes (in diesem Fall ein Linearfaktor)
Das funktioniert wie normales dividieren und wenn man
(2*x^2-2*x-4)/(x+1)
hat, ergibt sich
2x-4
Also gilt:
(2x-4)(x+1) = 2x²-2x-4
Die Nullstellen von x+1 und 2x-4 sind -1 bzw. 2. Also sind sie auch die Nst. von (2x-4)(x+1), somit auch von 2x²-2x-4.
noch was:
x(x-2/3) = 3x²+2x
äh? wieso nicht x^2 - 2/3*x ?
Stimmt natürlich, ich war noch auf der Suche nach den Nullstellen…sorry
vorher hast du den vergleich mit der primfaktorzerlegung
gebracht. wieso ist eine zerlegung (bei dem polynom) nur mit
hilfe einer bestehenden lösung möglich? wenn sich ein polyom
aus mehreren polynomen zusammensetzt (die jeweils eine lösung
liefern), müßten sich diese doch auch von vornherein ermitteln
lassen …
oder bin ich da auf dem holzweg?
Nun ja. Der Vergleich kommt nicht von ungefähr: Man wähle sich eine Zahl x. Diese besitzt eine eindeutige Primfaktorzerlegung, die allerdings nicht bekannt ist. Natürlich gibt es Zahlen, denen man ihre Primfakoren leicht ansehen kann, aber beileibe nicht mit allen ist das der Fall. Kennt man nun einen Primfaktor c, braucht man nur noch nach den Primfaktoren von x/c zu suchen.
Und genauso verhält es sich mit Polynomen, nur daß eben jede Zahl ein Polynom ist und die Primfaktoren Linearfaktoren heißen, das Dividieren nennt sich Polynomdivision.
Klarer?
Gruß Tyll