Hallo zusammen!
Wie löst man:
a_1 + a_2 + \cdots + a_n ;; = b_1
a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2 ;; = b_2
\cdots
a_1^n + a_2^n + \cdots + a_n^n ;; = b_n , für
reele, positive a_i
Danke fürs lesen
a_1 + a_2 + \cdots + a_n ;; = b_1
a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2 ;; =
b_2
\cdots
a_1^n + a_2^n + \cdots + a_n^n ;; =
b_n
Hallo,
das sieht fast aus wie eine transponierte Vandermonde-Matrix
http://de.wikipedia.org/wiki/Vandermonde-Matrix
Vielleicht hilft dir das weiter.
Gruß
hendrik
Das ist schonmal ein gewisser angriffspunkt. Vielen Dank. Das Problem ist aber die a_i aus den b_i analytisch rauszubekommen und das dürfte mit lin. Alg. schwer werden wenn ich das recht überblicke?!
gruß r
Das Problem ist aber die a_i aus den b_i analytisch rauszubekommen
und das dürfte mit lin. Alg. schwer werden wenn ich das recht
überblicke?!
gruß r
Also allgemein lässt sich so ein System denke ich nicht lösen, denn schon bei zwei Variablen/Gleichungen wird es schwierig.
a1+a2=b1
a12+a22=b2
Wenn du jetzt die erste Gleichung nach a2 auflöst und dann in die zweite Gleichung einsetzt erhälst du
2a12-2b1a1+b12-b2=0
also eine quadratische Gleichung für a1. Die kann keine, eine oder zwei Lösungen haben, je nach Diskriminante.
Meine Vermutung wäre, dass dein polynomiales Gleichungssystem mit n Variablen und Gleichungen bis zu n! Lösungen haben kann.
Gruß
hendrik
Ja, aber da diese speziellen Gleichungen hier symmetrisch in allen a_i sind muss, wenn man eine Lösung {a_1, …, a_n} hat auch automatisch jede Permutaion dieser Lösung wieder eine Lösung sein. Da es nun n! Permutationen gibt und augfrund der polynomialen Struktur (wahrscheinlich) auch nur n! möglich sind, sollten alle Lösungen also bereits aus einer durch permutation hervorgehen.
Ja, aber da diese speziellen Gleichungen hier symmetrisch in
allen a_i sind muss, wenn man eine Lösung {a_1, …, a_n} hat
auch automatisch jede Permutaion dieser Lösung wieder eine
Lösung sein.
Gutes Argument, das heißt entweder ist das System gar nicht lösbar oder es hat n! Lösungen von denen man nur eine kennen muss um alle zu kennen.
Leider weiß ich trotzdem nicht wie man eine allgemeine Lösung ausrechnen könnte.
hendrik
Trotzdem danke für deine Hilfe! Der Hinweis auf die Vandermond-Matrix ist sehr interessant.