Positiv definierte matrix

Wissenschaft Physik
#1

hallo meine rettungsbojen!
ich habe am mittwoch klausur und kann keine erklärung finden, was nun eine „streng positiv definierte matrix“ ist.
hab schon alle möglichen mathebücher durch und auch im internet gesucht.
gehts da nur um ne positive determinante oder sind alle kompenenten positiv? ich weiß schon nimma wo mir der kopf steht.

herzlichen dank
wuzi

ps: falls jemand auch ne formel hat, wie man die anzahl an möglichkeiten berechnet, wie man mit 50 cent bezahlen kann (1 x 50 cent, 2 x 20 cent + 1 x 10 cent…), dann wär des super - aber die matrix ginge mal vor!

#2

positiv definit?
Hallo,

was nun eine „streng positiv definierte matrix“ ist.

Bist du sicher, dass das so heißt? Ich kenne nämlich nur positiv definite Matrizen. Eine Matrix ist positiv definit, wenn die Determinanten der Hauptunterabschnitte positiv sind und desweiteren die Eigenwerte der Matrix ebenfalls positiv sind.

ps: falls jemand auch ne formel hat, wie man die anzahl an
möglichkeiten berechnet, wie man mit 50 cent bezahlen kann (1
x 50 cent, 2 x 20 cent + 1 x 10 cent…), dann wär des super -
aber die matrix ginge mal vor!

Guckst du hier: http://www.mathematik-online.de/F105.htm#pisa
Brauchst du nur nachvollziehen und auf deinen speziellen Fall ‚ummünzen‘.
MfG Dirk

#3

Ergänzung

Bist du sicher, dass das so heißt? Ich kenne nämlich nur
positiv definite Matrizen. Eine Matrix ist positiv definit,
wenn die Determinanten der Hauptunterabschnitte positiv sind
und desweiteren die Eigenwerte der Matrix ebenfalls positiv
sind.

… will heißen:

die Matrix A ist genau dann positiv definit, wenn für alle Vektoren x gilt:

(x,Ax)>=0, für alle x und
(x,Ax)=0, genau dann wenn x = 0.

(,): Skalarprodukt.

Gruß
Oliver

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#4

danke dir oliver!
ich war mir natürlich nicht sicher bezüglich definiert, aber es heißt bestimmt definit. und deswegen is es mir klar, wieso ich dazu auch nichts finde.

jetzt kann ich beruhigt schlafen gehen.
danke nochmal
wuzi

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#5

Wenn Du bei einer Matrix bestimmen willst ob sie pos. definit ist muss du die Hauptminoren (Unterdeterminanten) bestimmen. Sie sind genau dann alle grösser als Null, wenn die Matrix positiv definit ist.

Die Hauptminoren berechnet man folgendermaßen:

Betrachte die quadratischen Untermatrizen, welche oben links anfangen und berechne deren Determinante.

Bsp.: gegeben sei die Matrix

1 2 0
1 3 1
1 1 2

Der erste Hauptminor ist die Determinante der Matrix (1) also 1 > 0.

Der zweite Hauptminor ist die Determinante der Matrix

1 2
1 3

also 3-2=1 > 0

Der dritte Hauptminor ist die Determinante der gesamten Matrix also
6+2-4-1=3 > 0.

Deswegen ist diese Matrix positiv definit.

Eine andere Methode wäre die Eigenwerte auszurechnen, welche alle grösser Null sein müssen.

Gruss
Michi

#6

was sind die hauptunterabschnitte? und was ist der vektor x?
rest wär mir klar…
danke
wuzi

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

#7

was sind die hauptunterabschnitte?

Jede symmetrische Matrix n*n kann entlang der Hauptachse (sie geht von oben links nach unten rechts) in n symmetrische Matrizen steigenden Rangs zerlegt werden. Für eine 3*3-Matrix ergeben sich also 3 Matrizen.

Bsp.: 3*3-Matrix
(2 0 -2)
(0 2 0)
(-2 0 4)

Es ergeben sich die Matrizen
M1=(2)
M2=(2 0)
(0 2)
(2 0 -2)
(0 2 0)=M3
(-2 0 4)

Nichts anderes sagt das aus.
MfG Dirk