Guten Tag liebe Expertinnen und Experten,
Wir haben in der Schule heute eine Funktion gehabt, die aus einem Exponentialausdruck und einem Potenzausdruck bestand ( f(x) = x - e^x). Damit sollten wir eine (mehr oder weniger) vollständige Funktionsuntersuchung machen. Bei den Nullstellen allerdings meinte unser Lehrer, dass wir die nicht berechnen könnten, zu mindest nicht genau.
Er hat gemeint, dass es zwar über Näherungen möglich wäre, aber wir haben den Teil dann übersprungen.
Das einzige Verfahren zum Näherungsweisen lösen von Gleichungen, das wir in der Schule gelernt haben und auch lernen werden, ist das Newton-Verfahren, aber unser Lehrer hat gemeint, es gäbe bessere.
Kennt ihr da vielleicht welche? Ein Name würde mir schon reichen, damit ich weiß nach was ich eigentlich suchen soll.
Vielen Dank für eure Bemühungen!
Liebe Grüße
Merlin
Hey Merlin,
eine weitere Näherungsmethode wäre die Regula falsi.
Kurz die Grundzüge erklärt:
-Man sucht sich 2 Punkte, die so liegen, dass einer rechts und einer links von der Nullstelle liegt.
-man berechnet die Gerade durch die beiden Punkte
-der Schnittpunkt der Gerade mit der x-Achse ergibt eine Näherung an die gesuchte Nullstelle
Dies wiederholt man dann, bis man die gewünschte Genauigkeit bekommt.
Ansonsten könnte ich mir noch vorstellen, dass man auf eine Lösung kommt, wenn man sich die Taylorzerlegung anschaut.
Oder man führt die allgemeine Definition der Exponentialfunktion ein (was im Prinzip aufs Gleiche rauskommt):
\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}
Auf dein Beispiel bezogen, wäre des dann:
f(x) = x - \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}
f(x) = -1 - \sum_{k=2}^n \frac{x^k}{k!}
Allerdings fehlt mir dann der Ansatz um weiter zu machen 
Gruß René
Hey,
Vielen Dank für die Antwort!
Ich glaub diese Regula falsi Methode benutzt unser Taschenrechner auch.
Ich werd mir dann mal diese Taylorzerlegung genauer ansehen und schauen, was ich damit anfangen kann bzw. ob ich überhaupt was verstehe^^
lg
Merlin