Potenzen

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo!
Ich habe eine kleine Frage zu Potenzen. Ich setze mich gerade mal wieder mit dem Thema auseinander um meine Kenntnisse aufzufrischen.
Genauer gesagt war ich gerade bei dem Radizieren von Potenzen.
Dort habe ich in meinem Buch stehen:

Wegen nVa^k (Tut mir leid, ich weiß gerade nicht, wie ich das besser darstelle. Die n-te Wurzel aus a^k) = a^k/n = (a^1/n)^k

Mir geht es um dieses a^k/n = (a^1/n)^k. Wieso ist das so?

In einer Aufgabe darunter steht in einem Beispiel:

4^2/4 = (4^1/2)^4.

Kann mir jemand erklären, wieso das so ist?

Grüße!

#2

Wegen nVa^k (Tut mir leid, ich weiß gerade nicht, wie ich das
besser darstelle. Die n-te Wurzel aus a^k) = a^k/n = (a^1/n)^k

Das folgt aus den Potenzgesetzen. Dort wird besagt, dass (x^a)^b = x^{ab} ist. Also auch (x^n)^{1/k} = x^{n\cdot 1/k}=x^{n/k}

Und x^(1/k) ist definiert als \sqrt[k]x.

Daher:
x^{n/k} = (x^n)^{1/k} = \sqrt[k]{x^n}
und
x^{n/k} = (x^{1/k})^n = (\sqrt[k]x)^n

4^2/4 = (4^1/2)^4.

Das ist falsch. Das rechte wäre 4^(4/2) = 4^2 = 16. Das linke ist dagegen 4^(1/2) = 2.

mfg,
Che Netzer

#3

Daher:
x^{n/k} = (x^n)^{1/k} = \sqrt[k]{x^n}
und
x^{n/k} = (x^{1/k})^n = (\sqrt[k]x)^n

Zumindest für
x\geq 0.

Gruß

hendrik

#4

Daher:
x^{n/k} = (x^n)^{1/k} = \sqrt[k]{x^n}
und
x^{n/k} = (x^{1/k})^n = (\sqrt[k]x)^n

Zumindest für
x\geq 0.

Falls x Element von R oder einer Teilmenge von R ist. Und dann auch nur, falls k gerade ist und da kommt’s dann auch wieder drauf an, ob n ein Vielfaches von k ist oder nicht. Allgemein stimmt Che Netzers Angabe, nur für diese Sonderfälle eben nicht.

Gruß

hendrik

MfG,
TheSedated