Hallo,
in Deinen zwei Rechnungen ist jeweils ein Fehler:
\lim_{x\to0}\left(x^x\right)\neq\lim_{x\to0}\left(0^x\right)
und
\lim_{x\to0}\left(x^x\right)\neq\lim_{x\to0}\left(x^0\right).
Du kannst bei der Grenzwertbildung nicht einfach erst einmal ein x gegen 0 gehen lassen, sonst hättest Du ja z.B. auch
\lim_{x\to0}\frac{x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{0}{x}=\lim_{x\to0}0=0
bzw,
\lim_{x\to0}\frac{x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{x}{0}=\lim_{x\to0}\infty=\infty,
und das kannst Du ja auch nicht glauben. (Natürlich hast Du recht, dass
\lim_{(x,y)\to(0,0)}x^y
nicht definiert ist - ebensowenig wie
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x}{y}.
Um zu bestimmen, welches Ergebnis
\lim_{x\to0}x^x
besitzt, muss man ein wenig tricksen: Man bestimmt zunächst
\lim_{x\to0}x\cdot\ln(x)=\lim_{x\to0}\frac{\ln(x)}{,\frac{1}{x},}
=\lim_{x\to0}\frac{,\frac{1}{x},}{,-\frac{1}{x^2},}=\lim_{x\to0}(-x)=0.
Dann erhält man
\lim_{x\to0}x^x=\lim_{x\to0}e^{\ln(x^x)}=\lim_{x\to0}e^{x\cdot\ln(x)}
=e^{\lim\limits_{x\to0}x\cdot\ln(x)}=e^0=1.
Um jetzt Michaels Aussage zu verstehen, dass die Funktion „rasant“ gegen 1 geht, bestimmt man die erste Ableitung:
\big(x^x\big)’=\left(e^{x\cdot\ln(x)}\right)’
=e^{x\cdot\ln(x)}\cdot(x\cdot\ln(x))’=x^x\cdot(ln(x)+1),
woraus man den Grenzwert für die Steigung bei x=0 erhält:
\lim_{x\to0}\big(x^x\big)’=\lim_{x\to0}\big(x^x\cdot(\ln(x)+1)\big)
=1\cdot(-\infty)=-\infty.
Das würde ich auch „rasant“ nennen.
Die Frage, ob und wie man 0⁰ definiert, klärt das natürlich nicht, und das sollte auch von Anwendung zu Anwendung unterschiedlich sein. In der Analysis ist meist 0⁰:=1 die vernünftigste Definition.
Liebe Grüße
Immo
