Potenzreihe als Lösungsansatz für Differenzalgl

Wissenschaft Mathematik
1

Hallo liebe Mathe-Könner,

ich steh gerade bei einer Mathe-Aufgabe vollkommen aufm Schlauch - vielleicht könnt ihr mir helfen?!

Ich soll folgende homogene lineare Differentialgleichung mittels Potenzreihenansatz lösen: (1-x²)y’’(x) - 2xy’(x) + v(v+1)y = 0

Ansatz:
y = \sum_{k=0}^{00} c_k*x^k
(das 00 soll unendlich bedeuten)

y’ = \sum_{k=1}^{00} c_k*k*x^{k-1}
= \sum_{k=0}^{00} c_{k+1}*{(k+1)}*x^k

y’’ = \sum_{k=2}^{00} c_k*k*{(k-1)}*x^{k-2}
= \sum_{k=0}^{00} c_{k+2}*{(k+1)(k+2)}*x^k

Das setzte ich dann in die Ausgangsgleichung ein und bilde daraus eine Summe, kann dann x^k ausklammern und das ganze nach c_(k+2) auflösen… aber irgendwie „verschwinden“ bei meinen Aufzeichnungen die Faktoren ((1-x²), -2x, c_(k+1)) aus der Ausgangsgleichung nur ich weiß nicht wohin ^^
Kann mir jemand von euch vielleicht auf die Sprünge helfen, was damit passiert? Also wie man es umformen kann, dass die praktisch verschwinden?

Die vorgegebene Lösung lautet:
c_(k+2) = [k(k-1)+ v(v+1)] / [(k+2)(k+1)] * c_(k)
(wobei das nicht zwangsläufig richtig sein muss…)

Ich hoffe, ihr versteht, was ich mit diesem LaTex-Wirrwar und so ausdrücken will…

Schonmal vielen Dank im Voraus für eure Hilfe!!

Beste Grüße,
die mathe-hassende-und-verzweifelnde Queeny

2

Hi,

löse die Vorfaktoren nach Distributivgesetz auf (Auseinanderklammern) und berücksichtige deren x-Potenzen beim allgemeinen Vergleich der x-Potenzen. Du solltest erhalten, dass die ersten zwei Faktoren vorgegeben werden müssen und alle anderen daraus bestimmbar sind.

Gruß Lutz

PS: Das mit den Formeln geht besser, wenn alles in einen großen Code-LaTeX-Block gepackt wird. In den Eigenschaften des Formelblocks kannst Du den von mir verwendeten Quelltext sehen.

Ansatz:

\begin{align}
y &= \sum_{k=0}^{\infty} c_k,x^k
\intertext{(das $\infty$ soll unendlich bedeuten)}
y’ &= \sum_{k=1}^{\infty} c_k,k,x^{k-1}
= \sum_{k=0}^{\infty} c_{k+1},(k+1),x^k\
y’’ &= \sum_{k=2}^{\infty} c_k,k(k-1),x^{k-2}
= \sum_{k=0}^{\infty} c_{k+2},(k+1)(k+2),x^k
\end{align}

3

Hallo Lutz,
mit welcher Software schreibt man Formeln in dieser Qualität und Schönheit? Das möchte auch ich können!
Grüße von
enricoernesto

4

Hallo,

mit welcher Software schreibt man Formeln in dieser Qualität
und Schönheit?

mit LaTeX. Geheimtipp: Schau mal in der wer-weiss-was-Hilfe zum Forum nach. Da ist beschrieben wie man solche Formeln erzeugen kann. Ebenfalls dorthin führt der Link „Hilfe zur LaTeX-Benutzung“ in dem grauen Kasten unter dem Editierfenster, in das Du Deine Artikel eintippst.

http://www.wer-weiss-was.de/app/faqs/classic?entries…

Und vielleicht auch nützlich:

/t/integration–13/5240156/4

Gruß
Martin
Moderator im Brett Mathematik

5

Hallo Martin,
das habe ich schon mal gehört, aber noch nie angewendet. Danke für den Tipp, ich werde mich damit beschäftigen!
Grüße vom
enricoernesto