Prädikatenlogische Interpretation macht Probleme

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

habe eine Aufgabe für Linguistik aufbekommen, in der man prädikatenlogische Aussagen interpretieren soll. Das geht auch, nur die letzte ist mir nicht möglich.
Die Formel lautet: ∀x ∃y (S(x) → (R(y) ∧ ¬P(x,y)))

In den anderen Formeln hab ich für das x beispielsweise „Schüler“ und für das y „alte Leute“ und für P „parken“ genommen. Da kam dann z.B. raus: Alle Schüler und alle alten Leute können nicht parken. Wie würde das hier heißen? Wenn die Beispiele bei dieser Formel nicht passen gehen auch gern andere!

Danke für eure Hilfe!

Liebe Grüße!

#2

Hallo Engelchen,

ich fürchte, da hast du einiges missverstanden. x und y sind Variablen; „Schüler“ und „alte Leute“ sind dagegen Prädikate (Im AL-Sinne).

Vielleicht kann man es verstehen, wenn man statt x und y „Ding1“ bzw. „Ding2“ sagt. Damit lesen wir die Aussage nochmal:

∀Ding1 ∃Ding2 (S(Ding1)) → (R(Ding2) ∧ ¬P(Ding1,Ding2)))

Dann hätten wir die logischen Operatoren, die du sicherlich kennst. Wenden wir das Ganze an, erhalten wir

Für alle Dinger1 gibt es ein Ding2, so dass gilt: Wenn S(Ding1) dann (R(Ding2)) und nicht P(Ding1,Ding2)).

So, nun hatten wir schon, dass S, R, und P Prädikate sind. Im Mathematikunterricht in der Schule gab es dieses komische f(x), was im Grunde besagte: Wir wenden eine Funktion f auf x an, wobei x für eine beliebige Zahl stehen kann. Oder allgemeiner: wir treffen die Aussage f über x. Wenn wir also S(x) haben, heisst das, dass wir über einen x-beliebigen Wert, den x haben kann, die Aussage treffen, dass S auf diesen Wert von x zutrifft.

Ich greife deine Terminologie auf und nehme an, dass S(x), völlig für sich genommen, bedeutet: Ich treffe über (ein beliebiges) x die Aussage, dass x ein Schüler ist, oder, um korrekt zu sein: für x, was auch immer x nun konkret ist, treffe ich die Aussage, dass x in der Menge der Dinge enthalten ist, die ich als „Schüler“ bezeichne.

R(y) heisst demnach, dass ich über alles, was y bedeuten kann, die Aussage treffe, dass y ein alter Mensch ist. (Genauer: Dass y in der Menge der alten Leute P enthalten ist).

P ist nun ein 2-wertiges Prädikat, das heisst, ich treffe über zwei x-beliebige Variablen eine Aussage. Konkret bedeutet das, dass sowohl x als auch y in der Menge enthalten sind, die durch P definiert ist. Verwenden wir „parken“ für P (du wirst bald merken, dass „parken“ wenig Glücklich gewählt ist), erhalten wir für parken(x,y) sowas wie: Für ein beliebiges Ding x und ein beliebiges Ding y gilt: x und y sind in der Menge der Paare enthalten, für die gilt, dass das Ding x das Ding y parkt.

Also nehmen wir uns die Aussage nochmal vor und wenden die Prädikate darauf an:

Für alle Dinger1 gibt es (irgend) ein Ding2, so dass gilt: Wenn Ding1 ein Schüler ist, dann folgt daraus, dass Ding2 ein alter Mensch ist, und dass Ding1 Ding2 nicht parkt.

Gehen wir schrittweise in Richtung einer natürlichsprachlichen Darstellung:

Für alle x gibt es mindestens ein y, so dass die allgemeine Aussage Wenn dieses x ein Schüler ist, dass folgt daraus, dass y ein alter Mensch ist, und dass dieser alte Mensch nicht von Schüler x geparkt wird. wahr ist.

Für jedes x gilt: Wenn x ein Schüler ist, dann gibt es irgendein y, der ein alter Mensch ist und der nicht von Schüler x geparkt wird.

Für jeden Schüler gibt es irgend einen alten Menschen, den dieser Schüler nicht parkt.

Im Klartext: Kein Schüler parkt alle alten Leute.

Ich hoffe, das hilft dir etwas und verwirrt dich nicht zu sehr.
p.

#3

Oh frag mich was leichteres ;D
Hab ich gerad leider keine Ahnung von, tut mir leid !

Liebe Grüße

#4

Hallo!

∀x ∃y (S(x) → (R(y) ∧ ¬P(x,y)))

∀x ∃y (Schüler(x) → (Rentner(y) ∧ ¬Parken können(x,y)))

Die Interpretation ist eigentlich simpel:
Alle Schüler und einige Rentner (oder wenigstens ein Rentner) können nicht parken.

Man könnte annehmen, dass mehr dahinter steckt wegen der Implikation. Hierzu ist das Verständnis von „freien und gebundenen Variablen“ sowie vom „Skopus“ wichtig. x und y sind durch die beiden Quantoren (∀,∃) gebunden; der Skopus der Quantoren sieht dann folgendermaßen aus:

∀x ∃y (S(x) → (R(y) ∧ ¬P(x,y)))
∀x -------------------------------->
∃y --------------------------------->

Schließlich muss man noch wissen, dass für die Quantoren immer bestimmte Junktoren benutzt werden müssen:

∀ und →
∃ und ∧

So, ich hoffe, ich habe Deine Frage zufriedenstellend beantwortet.

LG

#5

Super, vielen Dank!

Wenn es dir nicht zuviel ausmacht, könntest du mir für die funktion, nach deren Interpretation ich gefragt hatte, einen Beispielsatz konstruieren? Ist egal, was du einsetzen würdest. Ich frag nur, weil du das besser erklärt hast, asl bisher überhaupt jemand, weder in der Uni noch sonst irgendwo! Wäre toll, wenn es dir nicht zuviel Umstände macht!

Liebe Grüße und in jedem Fall Danke!

#6

Danke schön!

#7

Schön, dass ich dir helfen konnte.

Im Grunde ist das relativ einfach. Einwertige Prädikate der Form Y(x) lassen sich relativ leicht durch intransitive Verben ersetzen, durch Prädikative Adjektive, Partizipialkonstruktionen oder generell irgendwas, was man oder etwas im weitesten Sinne „sein“ kann (z.B. schön sein, ein Auto sein, schlafend sein…). Solche einwertigen Prädikate der allgemeinen Form P(x) bedeuten sowas wie x ist ein P, also könnte sowas wie S(x) heissen: „x ist ein Schüler“, „x ist schön“, „x ist ein Sportwagen“ oder x schläft (x ist schlafend, x ist in der Menge der schlafenden Individuuen).

zweiwertige Prädikate eignen sich besonders für transitive Verben, bei dem Subjekt und Objekt belebter Natur sein können, z.B. lieben. mögen, verprügeln, usw. Strenggenommen sind aber auch manche Präpositionen oder transitive Verben allgemein zweiwertige Prädikate. Dann heisst lieben(x, y) sowas wie „x liebt y“, in(x,y) heisst „x ist in y“ (oder umgekehrt, weiß nicht genau), usw. „zwischen“ ist übrigens ein dreiwertiges Prädikat, wie auch „geben“ oder „leihen“.

Nun, da wir die Bedeutung der komplexen Aussage (nicht Funktion, die gibt es nur in der Algebra…) gestern „entschlüsselt“ haben, hast du vielleicht eine grobe Vorstellung, welche Entsprechungen für die einzelnen Prädikate S, R, und P Sinn machen würden. „Schüler“ für S war schonmal gar nicht so schlecht. Für R könnten wir „Rentner“ (oder: „Rentner sein“) übernehmen. Und für P nehmen wir der Einfachheit halber so ein transitives Verb mit zwei belebten Argumenten, damit es zu unseren anderen beiden Prädikaten passt, zum Beispiel „mögen“ (Mit p ist mir spontan nichts eingefallen…)

Der entstehende Satz wäre dann sowas wie „Kein Schüler mag alle Rentner“ (Weil jeder der Schüler irgend einen Rentner kennt, den er nicht leiden kann).

Beste Grüße
P.

#8

Hallo,

geht es nur darum, die prädikatenlogisch Aussage natürlichsprachlich nachzubilden, verwende Entsprechungen, mit denen die Aussage am besten verbildlicht werden kann:

für alle x, es gibt y: S(x) impliziert dass R(y) und nicht P(x,y).

Offensichtlich ist P() eine zweistellige Relation.

Als Beispiel:

S() „Vegetarier sein“, S(x): x ist Vegetarier
R() „Fleischspeise sein“, R(x): x ist eine Fleischspeise
P() „verspeisen“, P(x,y): x verspeist y

Für alle Menschen x, es gibt Speisen y: Mensch x ist dann Vegetarier, wenn y eine Fleischspeise ist und Mensch x diese Fleischspeise y nicht verspeisen mag.

Gruss

#9

Vielen Dank, jetzt ist alles klar :smile:

#10

Super, danke schön für die Mühe!