Hallo,
kann mir jemand ein paar praktische Beispiele für Vekoren nennen?
Ist das z.B. die Flugbahn einer Pistolenkugel?
Hallo,
Hi
kann mir jemand ein paar praktische Beispiele für Vekoren
nennen?
Vielleicht wäre eine Windrichtung ein praktisches Beispiel.
Also allgemein ist ein Vektor ja eine Richtung mit einem zugehörigen Wert, wenn man es mal so ausdrücken will also ein Pfeil mit einer Zahl dran (bzw. mit einer bestimmten Länge als Darstellung dieser Zahl), wobei es bei dem Pfeil aber weniger dadrum geht wo er anfängt und aufhört, sondern eher in welche Position er gedreht ist. Sagen wir also wir haben einen Nordostwind der Stärke 5 oder der Geschwindigkeit 50 km/h oder sowas dann wäre das ein Vektor.
Ist das z.B. die Flugbahn einer Pistolenkugel?
Die Flugbahn einer Pistolenkugel wäre jetzt eher aus mehreren Richtungsvektoren zusammengesetzt. Sagen wir mal Du schießt geradeaus mit wieschnellauchimmersoeineKugelist Geschwindigkeit. Dann hättest Du da wo Du losschießt einen Geschwindigkeitsvektor mit Richtung „geradeaus“ (eleganterweise eher in Koordinaten oder Winkel angegeben) und Geschwindigkeit „wieschnellauchimmer…“. So eine Kugel wird allerdings ja zum einen unterwegs langsamer (wegen dem Luftwiderstand) und zum anderen nach unten abgelenkt (wegen der Erdanziehungskraft) das heißt, dieser Richtungs- und Geschwindigkeitsvektor für die Kugel ist an jeder Stelle der Flugbahn anders, die Pfeilspitze zeigt also mit der Zeit bzw. zurückgelegter Strecke in geradeausrichtung immer mehr nach unten und der Pfeil wird immer kürzer.
Jetzt hab ich ganz schön viel geschrieben, viele praktische Beispiele hab ich Dir aber nicht gesagt. Naja, vielleicht könnte man einen Wegweiser nennen (sagen wir mal „Rheingau, 20 km“) der in eine Bestimmte Richtung zeigt. Das ist eine Richtung mit einer Angabe über einen Wert der dazugehört.
Vielleicht fällt ja noch jemandem etwas besseres ein. =0)
Kennst du die Fabel von dem Schwan, dem Krebs und dem Hecht (http://maerchen.kundenbereich.org/index.php?c=5&mi=217) von Iwan Krylow? Das ist ein schönes Beispiel. Wenn man die Kraft dieser Tiere als Vektoren auffasst, mit den Richtungen, in die sie sich bewegen (sogar 3-dimensional) und die Länge der Vektoren, als das Maß der Kraft, so kann man durch Addition dieser Vektoren herausbekommen, in welche Richtung sich der Karren hätte bewegen müssen.
Kommt immer gut, wenn man im Unterricht einen Literaturhinweis geben kann.
SYS
frog23
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hi,
es gibt 2 möglichkeiten, vektoren zu definieren …
a) abstrakt-mathematisch
b) anschaulich
zu a) in der mathematik ist alles vektor, was man
(i) addieren und
(ii) mit zahlen multiplizieren
kann.
multiplizieren zwischen vektoren ist (zunächst) nicht sinnvoll.
5 € + 3 € = 8 €
5 € * 3 = 15 €
5 € * 3 € = ???
so betrachtet sind alle benannten größen vektoren - z.b. auch geldbeträge. aber auch längenangaben, zeitangaben usw. usf.
(dass man anscheinend auch längenangaben miteinander multiplizieren kann und flächenangaben erhält, ist theoretisch mindestens sehr problematisch wenn nicht falsch. es funktioniert zwar; aber nur bis zur dritten dimension; dann hört es auf, für den menschen sinnvoll zu sein.)
in diesem sinn sind auch noch viele andere mathematische objekte (z.b. polynome, funktionen, usw. usf.) als vektoren auffassbar.
b) anschaulich ist ein vektor etwas, was eine gewisse länge und eine gewisse richtung hat.
geradlinige bewegungen sind solche dinge. man kann sie - und hier stimmt das zur abstrakten vektordefinition - addieren (nämlich: zuerst die eine bewegung, dann die andere) und mit zahlen mutliplizieren (eine bewegung 2 mal, 5 mal … machen).
auch ortsangaben in einem koordinatensystem können als bewegungen aufgefasst werden können, nämlich als die bewegung, die man braucht, um vom festgesetzten koordinatenursprung zu einem punkt zu kommen.
man kann vektoren als ortsangaben und vektoren als bewegungen gut kombinieren. also nicht nur:
(I) bewegung_1 + bewegung_2 = bewegung_3
sondern auch
(II) ort_1 + bewegung = ort_2
aber:
(III) ort_1 + ort_2 hat zunächst keinen sinn.
wenn man aber die gleichung (II) umschreibt, bekommt die differenz von orten einen sinn, nämlich als bewegung, die man machen muss, um von ort_1 zu ort_2 zu kommen:
(IIa) bewegung = ort_2 - ort_1
diese gleichung IIa kennt man in der vektormathematik auch als „verbindungsbektor ist spitze minus schaft“ oder „verbindungsvektor = endpunkt minus anfangspunkt“.
mit ortsvektoren und (linearen) bewegungsvektoren entwickelt man als vektorgeometrie dann die hauptanwendung der vektorrechnung in der schule.
prinzipiell ist diese vektorgeometrie allerdings nichts anderes als eine geometrische verkleidung des rechnens mit linearen gleichungen. eine lineare gleichung ist zwar kein vektor, lässt sich aber mithilfe von orts- und bewegungsvektoren darstellen und anschaulich interpretieren.
hth
m.
Eine Flugbahn ist kein Vektor, sondern eine Vektorfunktion. Dem Fluß einer veränderlichen Größe, z. B. der Zeit, ist jeweils eindeutig (durch die gegebenen konkreten physikalischen Bedingungen und durch die Naturgesetze) ein Vektor zugeordnet. Dieser Vektor kann verschieden definiert sein. Der Vektor ist dann immer die jeweilige Richtung und Entfernung in Bezug zu einem bestimmten festgelegten Beobachtungspunkt.
Ein einfaches Beispiel für Vektoren, die schon jeder gesehen hat, sind Wegweiser. Die Richtung des Wegweisers läßt sich zusammen mit der Entfernungsangabe in einem Koordinatensystem auf einer Landkarte in zwei Koordinaten übersetzen. Die angegebene Entfernung ist zugleich der Betrag des Wegweiser-Vektors. (Vorausgesetzt, der Wegweiser zeigt in die richtige Richtung.) Ein Wegweiser ist auch ein schönes Beispiel dafür, wie eine Abstraktion selbst zu einem praktischen Objekt werden kann.
Ein durch jahrelangen Wind geneigter Baum ist auch ein schönes Beispiel für einen Vektor. Die Richtung, in die der Baum geneigt ist, zeigt die mittlere überwiegende Windrichtung an, und die Stärke der Neigung ist ein Sinnbild für die aufsummierte Windstärke.
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Einfache (und nicht ganz mathematische korrekte) Erklärung:
Wenn man sich in einem 3D-Koordinatensystem befindet, dann sind Vektoren Pfeile, die vom Ursprung zu einer beliebigen Koordinate gehen. Der Vektor von x=1,y=3,z=3 ist dann der Pfeil, der vom Koordinatenursprung hin zum Punkt (1,3,3) zeigt. Die Richtung ist wichtig!!!
Vektoren kann man addieren und subtrahieren man kann sie aber nicht multiplizieren.
Das heisst man kann zwar zum Beispiel (1,2,3)+(4,5,6) ausrechnen (das Ergebnis ist in diesem Fall (1+4,2+5,6+3)=(5,7,9)) Man kann sie aber nicht multiplizieren, das heisst man kann nicht (1,2,3)*(4,5,6) ausrechnen.
Man kann aber Vektoren sehr wohl mit einem sogenannten Skalar mutliplizieren. Ein Skalar ist schlicht und einfach eine beliebige Zahl.
Nehmen wir zum Beispiel die Zahl 3: Man kann dann 3*(1,2,3) rechnen. Das wäre dann (3*1,3*2,3*3)=(3,6,9).
Bei der Vektorrechnung gilt das Kommutativgesetz. Das heisst, es ist egal ob du (1,2,3)+(4,5,6) oder (4,5,6)+(1,2,3). Das Ergebnis ist immer das selbe. Das gleiche gilt auch für die Multiplikation mit einem Skalar: Es ist vollkommen egal ob du 3*(1,2,3) oder (1,2,3)*3 schreibst.
In der Physik (und in der Schulmathematik) haben Vektoren auch noch Beträge. Der Betrag eines Vektors ist einfach die Länge des Pfeiles im Koordinatensystem. Die Länge kann man wie folgt berechnen:
Sei a die Länge eines Vektors (x,y,z) dann ist a = sqrt(x^2+y^2+z^2)
Nehmen wir zum Beispiel wieder den Vektor (1,2,3) dann ist die Länge des Vektors sqrt(1^2+2^2+3^2). Man quadriert also einfach die einzelnen Koordinaten, summiert diese, und zieht am Anschluss daran vom Ergebnis die Wurzel. Die Formel kann man mit dem Satz von Pythagoras beweisen. Vektoren werden ziemlich oft in der Physik verwendet und natürlich auch in der Mathematik und dort helfen sie Lineare Gleichungsysteme zu lösen.
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Hallo,
Billard ist ein vernünftiges Beispiel, wie ich finde.
Veranschaulicht schön die „gerichtete Größe“ und auch das Ergebnis einer ‚Vektoraddition‘.
Daniel
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Hallo,
Billard ist ein vernünftiges Beispiel, wie ich finde.
Veranschaulicht schön die „gerichtete Größe“ und auch das
Ergebnis einer ‚Vektoraddition‘.
…und dem Leser zu verraten, _welche_ Größe(n) da beim Billard gerichtet ist(sind), und wo dort Vektoren addiert werden, hälst Du nicht für notwendig? Insbesondere letzterer Punkt ist mir alles andere als klar. Inwiefern genau veranschaulicht Billard Deiner Meinung nach das Ergebnis einer Vektoraddition? Wo werden dort welche Vektoren wie zu welchem Ergebnis addiert?
Gruß
Martin
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Hallo,
Billard ist ein vernünftiges Beispiel, wie ich finde.
Veranschaulicht schön die „gerichtete Größe“ und auch das
Ergebnis einer ‚Vektoraddition‘.…und dem Leser zu verraten, _welche_ Größe(n) da beim
Billard gerichtet ist(sind), und wo dort Vektoren addiert
werden, hälst Du nicht für notwendig? Insbesondere letzterer
Punkt ist mir alles andere als klar. Inwiefern genau
veranschaulicht Billard Deiner Meinung nach das Ergebnis einer
Vektoraddition? Wo werden dort welche Vektoren wie zu welchem
Ergebnis addiert?
Hallo,
„gerichtete Größe“: Richtung des Stoßes + Kraft des Stoßes, die in der Geschwindigkeit der Kugel/Länge des Rollens zum Ausdruck kommt.
Vereinfacht: die Strecke „Ausgangspunkt weisse Kugel Endpunkt angestossene Kugel“ und deren Richtung ergibt sich aus Ausgangspunkt weisse Kugel Zusammenstoßpunkt + Zusammstoßpunkt Endpunkt angestossene Kugel + Zusammstoßpunkt Endpunkt weisse Kugel. Denk ich mir jedenfalls.
Kraft und Geschwindigkeit sind praktische Beispiele von Vektoren: sie haben eine bestimmte Größe und eine bestimmte Richtung.
Andere Beispiele: Fahr Auto und wirf etwas seitlich aus dem Fenster. Deine Fahrtrichtung und Deine Wurfrichtung sorgen für die addierte Richtung „schräg“. Oder steig in Dein Jagdflugzeug und schieß nach vorne weg. Du wirst Dich nicht selber abschießen, auch wenn Deine eigentliche Patronengeschwindigkeit kleiner als die Deines Flugzeuges ist. Ein Auto fährt mit 100 km/h auf eines mit 90 km/h in selber Richtung auf. Lass es auf der Gegenfahrbahn sein: 10 km/h bzw. 190 km/h und an einer Kreuzung eben anteilig…wie beim Billard.
Daniel
Vielleicht meint er…
Die Kugel (der Vektor) bleibt immer im Raum.
Schupst du eine Kugel ist Sie erst ein Vektor (also dann mit Länge) auf ne andere drauf… so gibts ein schönse Vektorprodukte … stimm ja auch.
Skalare Multiplikatioin gibts aber in dem Beispiel nicht — eigentlich… könnte man sich aber auch zusammen reimen.
Vektorraum ist dann der Tisch… weil alle Vektoren bleiben da drin 
So schwehr ist das gar nicht gewesen mit dem zusammenreimen 
LG Sebastian
Das wär doch mal ne gelungene Einführung !
in das Thema … sollte ich mal meinem Prof schicken.
Ich hoffe das inspiriert andere.
Dazu noch das Beispiel oben mit dem Billiard und die Sache ist Rund
Und die Studenten gern beim Thema )
Schade das das nicht immer geht… aber man sollte sich Mühe machen… für sollche Gedanken brücken.
Ist wie beim Zahlen merken… hab mit ner Freundin beim spazieren kurz mal 50 Zahlen hintereinander gemerkt… kann jeder ist ganz einfach…
aber das geht nur über eine Geschickte mit Liebe/Mord/Totschlag etc,
Z.B. 6 für Sex, 5 für Rollstull, 4 für riss im boden etc.
Gruß
Off-topic Zahlenmerken
ist ja nicht direkt Mathe:
Hier etwas ausführlicherer Text zum Zahlenmerken:
http://www.career-tools.net/tools/lernen/mnemo_einle…
Aber den Kern der Sache habe ich schon gesagt.
Hallo Daniel,
„gerichtete Größe“: Richtung des Stoßes + Kraft des Stoßes,
die in der Geschwindigkeit der Kugel/Länge des Rollens zum
Ausdruck kommt.
das ist zu verstehen.
Vereinfacht: die Strecke „Ausgangspunkt weisse Kugel
Endpunkt angestossene Kugel“ und deren Richtung
ergibt sich aus Ausgangspunkt weisse Kugel
Zusammenstoßpunkt + Zusammstoßpunkt Endpunkt
angestossene Kugel + Zusammstoßpunkt Endpunkt
weisse Kugel. Denk ich mir jedenfalls.
Worauf ich hinauswollte: Es ist zwar richtig, daß bei der Beschreibung eines Stoßes zweier Billardkugeln unter anderem auch Vektoren zu addieren sind, aber ein solcher Stoßvorgang ist kein einfaches Beispiel für eine Vektoraddition. Es trifft eher das Gegenteil zu: Ein nicht-zentraler Stoß von Kugeln ist im Vergleich zu Deinen weiter unten gegebenen "einfach und gut"en Beispielen für Vektoradditionen eine viel kompliziertere Angelegenheit. Mit dem Hinschreiben einer Gleichung à la „v>result = v>1 + v>2“ ist da jedenfalls nichts zu gewinnen.
Kraft und Geschwindigkeit sind praktische Beispiele von
Vektoren: sie haben eine bestimmte Größe und eine bestimmte
Richtung.
Jawohl, diese beiden Größen stellen Vektoren dar. Weitere Beispiele sind der Ort, die Beschleunigung, der Impuls, die Stromdichte (die Ströme können z. B. elektrische Ströme, Volumenströme, Teilchenströme oder Wahrscheinlichkeitsströme sein), sowie die Gravitationsfeldstärke (die die Dimension einer Beschleunigung hat) und die elektrische Feldstärke. Darüber hinaus gibt es aber noch eine Reihe gewisser Größen, die zwar Vektoren sind, sich aber von den „anständigen“ Vektoren (alle oben genannten sind solche) im Transformationsverhalten bezüglich Raumspiegelungen unterscheiden. Man nennt sie Pseudovektoren. Ihnen wohnt ein „Drehsinn“ inne, der sich bei einer Raumspiegelung ändert. Zu den Pseudovektoren zählen die Winkelgeschwindigkeit, der Drehimpuls und die magnetische Feldstärke.
Andere Beispiele: Fahr Auto und wirf etwas seitlich aus dem
Fenster. Deine Fahrtrichtung und Deine Wurfrichtung sorgen für
die addierte Richtung „schräg“.
Genau: Auto senkrecht zur Fahrbahn mit 50 km/h plus Abstoß der Coladose quer zum Auto mit 30 km/h ergibt relativ zur Fahrbahn a) schräge Dosen-Wurfbahn, und b) Dosen-Geschwindigkeit von ca. 58.3 km/h. Welche Vektoren werden also zu welchem Ergebnis addiert? Na klar, das hat jeder verstanden: v>Dose ggü. Straße = v>Auto ggü. Straße + v>Dose ggü. Auto.
Mit freundlichem Gruß
Martin