Hallo,
der genaue Grund für das „Verbotensein“ einer Teilung durch Null muss natürlich in der Definition der mathematischen Operation Division zu finden sein.
Die Division ist die zur Multiplikation inverse Operation. Das bedeutet, dass Du Dir die Gleichung
a · x = b [
]
auftischst, und Dich fragst, ob sie zu vorgegebenen Werten für a und b durch irgendwelche x-Werte lösbar ist, und wenn ja, ob es nur eine Lösung gibt oder mehrere.
Die Antwort: Für manche Zahlenmengen hat die Gleichung [] nicht immer eine Lösung, beispielsweise existiert keine ganze Zahl x, die 5 · x = 28 erfüllt (aber 5 · x = 30 hätte eine Lösung, nämlich x = 6). Andererseits gibt es „divisionsfreundliche“ Zahlenmengen (was das sein soll, wird gleich klar). Die Menge schlechthin mit dieser Eigenschaft ist die Menge Q der rationalen Zahlen.. Legt man diese zugrunde, dann trifft folgende zentrale Aussage zu:
Die Gleichung a · x = b hat für alle a ≠ 0 genau eine Lösung x.
Diese eindeutige Lösung wird durch das „Bruch“ genannte
Symbol „b/a“ dargestellt. Sprechweise „b geteilt durch a“.
Die Definition des Bruchs b/a lautet also in Kurzform
a · x = b ⇔ x = b/a für alle a ≠ 0
Noch offen ist, wieso da die vorweggenommene Einschränkung a ≠ 0 gemacht werden muss. Das wird Dir klar, wenn Du in [] a = 0 setzt und Dir anschaust, was dann auf dem Papier steht:
0 · x = b
Aha. Gibt es Werte für x, die diese Gleichung erfüllen können? Das kommt auf den Wert von b an. Für b = 0 gibt es Lösungen, genauer löst dann jeder Wert von x die Gleichung: 0 · x = 0 ist für ausnahmslos alle x richtig. Hat b dagegen irgendeinen von Null verschiedenen Wert, dann ist 0 · x = b unlösbar. Es gibt keine Zahl x, die etwa 0 · x = 5.823 erfüllt.
Ergebnis: Sowohl für b = 0 als auch für b ≠ 0 kann man dem Symbol „b/0“ keinen sinnvollen Wert zuordnen; somit ist b/a für a = 0 nicht definiert. Sprüche wie „teilen durch Null ist verboten“ etc. meinen dasselbe. b/0 irgendwie „zwangszudefinieren“, wäre töricht, weil dazu keine Notwendigkeit bsteht, denn die Frage „irgendwas/0 = ?“ taucht nirgendwo in der Mathematik oder den Naturwissenschaften auf.
Andererseits gibt es mit 0/a für a ≠ 0 nicht das geringste Problem: 0/a hat für alle a ≠ 0 den Wert Null, weil die Gleichung a · x = 0 für a ≠ 0 die eindeutige Lösung x = 0 hat.
Nun meine eigentliche, mathematische Frage: Ich habe gelernt,
dass eine Division durch Null einfach ungültig ist. Ist aber
angesichts diesen praktischen Beispiels das Ergebnis einer
Division durch Null = Unendlich ? Wenn ich das Auto rollen
lasse und es 0 Liter je 100 Kilometer verbraucht, heißt das
doch im Umkehrschluss, dass es (abgesehen von manchen
physikalischen Gesetzen) unendlich viele Kilometer fahren
könnte bezogen auf den Benzinverbrauch.
Ist dieser Denkansatz richtig?
Nein. Weil es mit Nullverbrauch jede Strecke fahren kann, ist das Ergebnis einer Division durch Null nicht definiert.
Gruß
Martin
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