Ich habe eine vielleicht etwas seltsame Frage:
Doch nun zu der Frage:warum ist jede
Primfaktorzerlegung eindeutig, also warum
kann es nicht für eine Zahl zwei verschieden
Primfaktorzerlegungen geben? Irgendwie ist es klar,
aber dass muss man doch erklären können, oder?
Viele, die ich gefragt habe, sagen: Ist doch klar!
Aber WARUM???
Oder ist das etwa eine dieser Fragen, die man nicht
beantworten KANN?
ist das vielleicht einfach ein Axiom?
Ich krieg hier noch die Krise, morgen kauf ich mir ein Buch über Zahlentheorie
Matheanfängerin Anna
Hallo Anna
warum ist jede
Primfaktorzerlegung eindeutig, also warum
kann es nicht für eine Zahl zwei verschieden
Primfaktorzerlegungen geben? Irgendwie ist es klar,
aber dass muss man doch erklären können, oder?
Das kann man tatsächlich beweisen.
ist das vielleicht einfach ein Axiom?
Nein (s.o.).
Zum Beweis braucht man allerdings einen Hilfssatz und die vollständige Induktion. Nun weiß ich leider nicht, ob Dir das Verfahren der vollständigen Induktion bekannt ist (Da Dir aber der Begriff „Axiom“ bekannt ist, vermute ich mal, daß Du weißt was man unter einer vollständigen Induktion versteht).
Hilfssatz: Jede natürliche Zahl a>1 besitzt mindestens einen Primteiler.
Nachweis: jede natürliche Zahl a besitzt zumindest die Teiler 1 und a. ==> Die Menge der Teiler von a kann niemals die leere Menge sein.
Andererseits ist die Menge der Teiler von a endlich, denn jeder Teiler von a liegt zwischen 1 und a und zwischen 1 und a gibt es nur endlich viele natürliche Zahlen.
Nun betrachtet man den kleinsten aller Teiler von a. (Nennen wir ihn mal t.) Dieser muß dann eine Primzahl sein. (Wäre t keine Primzahl, so müßte man einen echten Teiler t’ von t finden können und dieses t’ würde dann auch t teilen. Widerspruch: Also wäre t nicht der kleinste Teiler von a gewesen.)
Nun kann man den Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung beweisen:
Satz: Jede natürliche Zahl n>1 ist entweder selbst eine Primzahl oder ist bis auf die Reihenfolge eindeutig als Produkt von Primfaktoren darstellbar, d.h.
n=p_1*p_2*…*p_k mit p_1 n+1
zu zeigen:Behauptung gilt auch für die natürliche Zahl n+1
Nun gibt es 2 möglich Fälle:
-
n+1 ist eine Primzahl. Dann ist die Behauptung erfüllt und wir sind fertig.
-
n+1 ist keine Primzahl. Dann besitzt n+1 aber nach dem Hilfssatz einen Primteiler p und es gilt:
n+1=p*k
Dann ist aber mit Sicherheit der Faktor k
Hi Anna,
nimm an, die Primfaktorzerlegung ist nicht eindeutig:
a*b = c*d
mit a,b,c,d verschiedene Primzahlen.
=> a = (c*d) / b
ist eine ganze Zahl. Also
a = (c/b) * d = c * (d/b)
und beide Klammern müssen ganze Zahlen sein, falls b kein Teiler von d bzw. c. Das geht aber nicht, weil c und d Primzahlen sind => Widerspruch.
Für Zahlen, die aus mehr als 2 Primzahlen aufgebaut sind, gehts analog.
Grüße,
Semjon.
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Die Lösung ist mir heute um 6:00 beim Frühstück gekommen, ist beinahe genauso wie Deine. Tja, was so in meinem Hirn um die Uhrzeit vorgeht, ist mir ein Rätsel…