Hallo,
kennt jemand den Beweis, daß der Abstand zweier benachbarter Primzahlen unendlich groß werden kann?
Gruß
OLIVER
Hallo!
kennt jemand den Beweis, daß der Abstand zweier benachbarter
Primzahlen unendlich groß werden kann?
Wie soll das gehen? Ein unendlich großer Abstand ist nicht möglich, weil die nächste dann nicht existierte. Damit wären die Primzahlen endlich, und dieser Beweis liegt nicht vor.
Gruß!
Tino
??
Hi Oliver!
Ist dem so? Das Bertrandsche Postulat sagt aus:
zu jeder natürlichen Zahl n > 1 gibt es eine Primzahl p mit n
Näheres unter
http://www.mathematik-online.de/F99.htm#ab
bei den Bemerkungen
Für n->oo konvergiert der Abstand also gegen oo, aber nur, wenn zwischen n und 2n höchstens eine Primzahl liegt. Dem ist aber - glaube ich - nicht so.
Tyll
Konsequenz…
Hallo Tino und Tyll,
also wenn die Aussage falsch ist, heißt das doch, daß der Abstand zweier benachbarter Primzahlen immer kleiner ist als eine Konstante c. Kann man c irgendwie berechnen oder abschätzen?
Gruß
OLIVER
Primzahllücken-Beweis
kennt jemand den Beweis, daß der Abstand zweier benachbarter
Primzahlen unendlich groß werden kann?
Dazu beweist man folgenden Satz:
Satz : Zu jeder Zahl n ∈ N gibt es n aufeinanderfolgende natürliche Zahlen, die nicht prim sind.
(direkter) Beweis : indem wir n aufeinanderfolgende komposite (teilbare) Zahlen direkt angebn:
(n+1)! +2 ist durch 2 teilbar
(n+1)! +3 ist durch 3 teilbar
..
..
(n+1)! +(n+1) ist durch (n+1) teilbar
mit n → ∞ wächst auch die Zahl der n aufeinanderfolgenden Komposite (= Primzahllücke) → ∞.
qed
Gruß
Metapher
Hallo Oliver
also wenn die Aussage falsch ist, heißt das doch, daß der
Abstand zweier benachbarter Primzahlen immer kleiner ist als
eine Konstante c. Kann man c irgendwie berechnen oder
abschätzen?
Die Schlussfolgerung mit der Konstanten c ist nicht korrekt. Der Abstand zwischen zwei Primzahlen kann beliebig gross werden. Aber nicht unendlich, da sich immer noch ein groesserer Abstand finden laesst. Man kann nur sagen, dass der Abstand zweier Primzahlen fuer n->oo auch gegen oo konvergiert.
Gruss
Ingo
Der Abstand zwischen zwei Primzahlen kann
beliebig gross werden. Aber nicht
unendlich.
Das ist doch das selbe!
Endlich der gesuchte Beweis! Danke!!
no text
Schließt nicht der Terminus (in diesem Fall: Primzahl-Charakter) nicht apriori den Terminus aus ? (Umkejrschluß: Wenn Abstand = Unendlich, kann eine der beiden definierten Größen nicht existieren)
Gruß Michael
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
nö…
Schließt nicht der Terminus (in diesem Fall: Primzahl-Charakter)
nicht apriori den Terminus aus ?
(Umkejrschluß: Wenn Abstand = Unendlich, kann eine der beiden
definierten Größen nicht existieren)
Nein, es gibt die beiden unabhängigen Beweise, daß es keine größte Primzahl gibt und daß der Abstand zwischen zwei Primzahlen beliebig groß werde kann.
Gruß
Oliver