hi,
A gewinnt einen einzelnen Punkt mit Wahrscheinlichkeit p. B
mit q=1-p. (Das Spiel um 1 Punkt kann als Ziehen aus einer
Urne mit geeignetem Inhalt betrachtet werden).
Wie groß ist die Gewinnwahrscheinlichkeit für A bzw. B, wenn A
noch a Punkte und B noch b Punkte braucht?
das ganze entwickelt sich nach binomialverteilung. (wiederholung eines versuchs mit konstanter erfolgswahrscheinlichkeit.)
in a+b-1 spielen ist das ganze spätestens zu ende. (evtl. früher, wenn z.b. A die nächsten a spiele gewinnt.)
stell dir vor, es werden auf jeden fall a+b-1 spiele gespielt. dann hat insgesamt A gewonnen, wenn A aus diesen a+b-1 spielen mindestens a gewinnt. (da sind dann gegenüber dem ursprünglichen setting überflüssige spiele dabei, die machen aber nix und die berechnung wird einfacher9.
das wäre dann:
summe(k=a bis a+b-1) (a+b-1 über k)* p^k *(1-p)^(a+b-1-k)
mit den (a+b-1 über k) zählst du die verschiedenen wege, wie man aus a+b-1 spielen exakt k gewinnen kann.
mein lösungsvorschlag:
bei gleichstarken spielern wäre es:
Es können höchstens a+b-1 Spiele gespielt werden bis einer der
beiden gewinnt.
„omega“ = {A,B}^a+b-1 ; wobei a die fehlende Punktzahl von A
ist und b entsprechendes
das versteh ich leider nicht.
P(A) =(a aus a+b-1)+(a+1 aus a+b-1)+…+(a+b-1 aus a+b-1)
/2a+b-1
hier vergisst du die einzelgewinnwahrscheinlichkeit p. bloßes addieren der anzahl der möglichkeiten ist falsch.
in der aufgabe habe ich aber unter schiedliche wahrscheinlich
keiten…
ich hab versucht das für das beispiel p=66% und q=33% wenn a=2
undb=3 ist zu berechnen… und nachdem ich einen aufwendigen
stammbaum gezeichnet habe habe ich festgestellt das ich eine
wahrscheinlich keit von 72:9 habe.
mein problem:
wie berechne ich, wenn „omega“=(A,A,B)^4 die anzahl der
möglichkeiten für mindertens 2 A oder genau 2 A + genau 3A +
genau 4A so wie ich es oben gemacht habe.
Es wäre nett wenn mir jemand dabei helfen könnte denn ich
glaube ich würde mit meiner Aufgabe ein großes Stück weiter
kommen, wenn ich weiß wie ich das berechnen muss.
die aufgabe ist klassisch; sie gilt als einer der ursprungspunkte der wahrscheinlichkeitsrechung. pascal wurde von 2 spielern, die ein turnier bis 5 gewonnenen spielen angesetzt hatten und bei 4:3 aufhören mussten, gefragt, wie der einsatz zu verteilen war. da es sich um eine reines glücksspiel handelte, war p = 0,5 anzunehmen.
mit wsk 0,5 gewinnt A die nächste partie, es steht 5:3 und das turnier ist zu ende. mit wsk 0,5 gewinnt B und es steht 4:4. dann gewinnt A mit wsk 0,5 und B mit wsk 0,5.
die wsk für den turniergewinn von A ist also 0,5 + 0,5 * 0,5 = 0,75, die für B 0,5 * 0,5 = 0,25. die einsätze waren also 3:1 zu teilen.
man zeichnet dazu wsk-bäume und multipliziert innerhalb der bäume über die wege und addiert dann die wsken entsprechender ergebnisse.
4:3
/ \
0,5/ \ 0,5
/ \
5:3 4:4
/ \
0,5/ \ 0,5
/ \
5:4 4:5
0,5 + 0,25 0,25
0,75 0,25
solche „baumwahrscheinlichkeiten“ werden, wenn sich das p nicht ändert, durch die binomialverteilung beschrieben. wenn man den linken, abgekürzten ast theoretisch weiterführt zu 6:3 und 5:4, bleibt es bei sieg von A und man kann einfach über die passenden endpunkte der binomialverteilung addieren.
wenn kein reines glücksspiel vorliegt; wenn etwa ein spielstand wie 4:3 (oder, wie bei dir n-a : n-b) auch fähigkeiten signalisiert, muss ich evtl. ein dynamisches, sich veränderndes p ansetzen. dann wird die sache kompliziert und ist nicht mehr binomial.
hth
m.