Problem bei Extremwertberechnung mit 2 Variablen

Wissenschaft Physik
1

Mahlzeit, liebe Community!

Da ich bei einem Beispiel bezüglich der Extremwertberechnung nunmehr einige verschiedene Lösungsvorgänge gestartet habe, weiß ich nun nicht mehr, wo mir der Kopf steht.
Problem ist folgendes: Ich habe 2 Variablen, die aber bei den Ableitungen keinen Zusammenhang bilden, also (aus meiner Sicht) nicht ersetzt werden können.

Jenes Problem tritt im folgenden Fall auf:

f(x,y) = 2 / (x+2) - 1 / (y-1) + 2*x - y +1

Vielleicht steckt ja hier schon der Wurm drinnen: Die Ableitungen

Ich habe mir gedacht, da ja die Variablen im Nenner stehen, jedoch zum Zähler hin keine Variable, sondern nur ein Faktor existiert, dass man den Bruch auf eine Zeile bringen könnte:

fx = -2 * (x+2)^-2 +2

Wenn ich dies nun gleich null setze und wieder in Bruchform schreibe, dann komme ich (nach Auflösung des neu entstandenen Quadrates) auf dieses Ergebnis:

-2 / (x^2 + 4*x + 4) + 2 = 0

Nach weiterem durchrechnen komme ich dann zu der Erkenntnis, dass x = -1 sein MÜSSTE, und hier fängt meine Verwirrung an, denn wenn ich die Quotientenregel anwende, komme ich auf das Ergebnis:

x / (x+2)^2

Nun variiert dieses ja sehr mit dem Ergebnis, das ich erhielt, als ich den Bruch auf eine Zeile brachte.

Nun meine erste Frage: Wie gehe ich das Problem an, wenn ich 2 Variablen habe, die ich aber so nicht ersetzen kann? Muss man auf eine Zeile gehen oder muss man im Bruch bleiben?

Dann ist es ja so eine Sache mit den Extremwerten, dass sie 2 Koordinaten benötigen.
Erhalte ich in diesem Fall die y Koordinate, indem ich fy gleich null setze?

Ich habe probiert das x-Ergebnis in die Grundformel einzusetzen, aber ohne y wert kommt da nur ein Blödsinn raus.

Ich wäre sehr dankbar, wenn man mich diesbezüglich aufklären könnte
mfg
mrhenky

2

Hallo.

f(x,y) = 2 / (x+2) - 1 / (y-1) + 2*x - y +1
Die Ableitungen
fx = -2 * (x+2)^-2 +2

Das ist die korrekte partielle Ableitung nach x.

Wenn ich dies nun gleich null setze und wieder in Bruchform
schreibe, dann komme ich (nach Auflösung des neu entstandenen
Quadrates) auf dieses Ergebnis:

-2 / (x^2 + 4*x + 4) + 2 = 0

Nach weiterem durchrechnen komme ich dann zu der Erkenntnis,
dass x = -1 sein MÜSSTE,

Es gibt auch ne zweite Lösung x = -3.

und hier fängt meine Verwirrung an,
denn wenn ich die Quotientenregel anwende, komme ich auf das
Ergebnis:

x / (x+2)^2

Ich habe keine Ahnung wie du diese Ableitung erhältst. Dies soll doch die erste Ableitung von f(x,y) nach x sein oder?
Wie du zum ersten Ergebnis, welches KORREKT ist, gekommen bist versteh ich aus deinem Posting nicht.
Nur mal exemplarisch:
d(2 / (x+2))/dx= -2*(x+2)^-2
usw.

Nun variiert dieses ja sehr mit dem Ergebnis, das ich erhielt,
als ich den Bruch auf eine Zeile brachte.

Differenziere jeden Summanden einzeln, das ist hier am Einfachsten.
Also (a, b, c Funkt. von x):
d(a+b+c)/dx=d(a)/dx+d(b)/dx+d©/dx

Nun meine erste Frage: Wie gehe ich das Problem an, wenn ich 2
Variablen habe, die ich aber so nicht ersetzen kann? Muss man
auf eine Zeile gehen oder muss man im Bruch bleiben?

In welcher Form sich die abzuleitende Funktion befindet ist dir überlassen, das Ergebnis ist davon unabhängig.

Dann ist es ja so eine Sache mit den Extremwerten, dass sie 2
Koordinaten benötigen.
Erhalte ich in diesem Fall die y Koordinate, indem ich fy
gleich null setze?

Ja, da die partielle Ableitung nach y in deinem Beispiel nur von y abhängt.

Ich wäre sehr dankbar, wenn man mich diesbezüglich aufklären
könnte

Eine Funktion f(x,y) die von 2 Variablen abhängt definiert dir eine Fläche im Raum. Die x-Achse verlaufe horizontal, und die y-Achse in die Tiefe hinein, dann kannst du für jeden Punkt (x,y) in der aufgespannten Ebene, f(x,y) als Wert entlang der nach oben verlaufenden z-Achse auftragen.
Leitest du nun f partiell nach x (fx) ab so erhältst du eine Tangente an die Fläche die sich in einer Ebene parallel zur x-z Ebene befindet. Partiell ableiten nach x heisst ja den y Wert konstant zu halten, d.h. wir können hier unsere Tiefe nicht ändern.
Bei Ableitung nach y (fy) liegt die Tangente in einer Ebene parallel zur y-z Ebene.
Jene Punkte (x,y) an denen beide Tangenten zugleich waagrecht werden, d.h. beide partiellen Ableitungen gleich Null sind, müssen Extremstellen von f(x,y) sein.
Also fx und fy Null setzen. Du erhältst dann 2 (im allgemeinen gekoppelte, d.h. x und y kommen in beiden Gleichungen vor) Gleichungen, welche du nach x und y lösen kannst.
In deinem Fall erhältst du 2 Gleichungen welche jeweils nur von x bzw. y abhängen.
Welcher Art Extremum nun an den gefundenen Punkten (x,y) vorherrscht, findest du indem du jedes Punktepaar (x,y) in die Hessematrix einsetzt.
http://de.wikipedia.org/wiki/Hesse-Matrix
In zwei Dimesionen gilt:
Sei fxx die zweite Ableitung nach x, fyy jene nach y und fxy eine gemischte Ableitung (also vorher nach x dann nach y, oder umgekehrt) dann gilt:
Maximum wenn:
fxx*fyy-fxy^2>0, fxx0, fxx>0, fyy>0
Sattelpunkt wenn:
fxx*fyy-fxy^2

3

Hallo,

Du benutzt sehr eigenwillige Formulierungen, so dass ich manchmal nicht genau weiss, was Du meinst.

fx = -2 * (x+2)^-2 +2

Das scheint richtig zu sein.

-2 / (x^2 + 4*x + 4) + 2 = 0

Nach weiterem durchrechnen komme ich dann zu der Erkenntnis,
dass x = -1 sein MÜSSTE

Ja, aber x = -3 geht auch.

denn wenn ich die Quotientenregel anwende, komme ich auf das
Ergebnis:

x / (x+2)^2

Nein. Wenn u = 2 ist und v = x+2, dann ist u’ = 0 und v’ = 1. Da kann im Zähler kein x entstehen.

Nun meine erste Frage: Wie gehe ich das Problem an, wenn ich 2
Variablen habe, die ich aber so nicht ersetzen kann? Muss man
auf eine Zeile gehen oder muss man im Bruch bleiben?

Ab da verstehe ich es leider nicht mehr…

Olaf

4

Danke für die Aufklärung mit den y-Werten.
Nur die Sache mit der Hesse - Matrix verstehe ich nicht, ich habe die nie gelernt, kann es sein, dass es da noch eine andere Möglichkeit gibt?

Auf jeden Fall bedanke ich mich recht herzlich für die Hilfe.

mfg
mrhenky

5

Es tut mir wirklich leid, wenn ich mein Problem etwas komplex schilderte. Zu dem Zeitpunkt hatte ich nämlich 3 etwaige Möglichkeiten der Lösung am laufen, die mir alles durcheinander brachten. Nun ist mir allerdings alles klar, bis auf die Hesse-Matrix.

mfg
mrhenky