Problem mit Aufgabe vorschüssig / nachschüssig

Michael_a5946e · 6. Januar 2010 um 06:02

Hallo,
ich bin grad dabei für eine Matheprüfung zu lernen und komme mit folgender Aufgabe nicht so ganz klar.

Sie wollen eine Immobilie verkaufen und erhalten folgende Angebote. Vergleichen Sie bitte diese Angebote über die Barwerte bei 5% Zinseszins pro Jahr.

A: Fünf Jahre lang 200.000€ vorschüssig
B: 60 Monate lang 17.000€ nachschüssig
C: 20 Quartale 50.000€ vorschüssig

Ich habe schon einiges über vorschüssig/nachschüssig bei google gelesen, aber so richtig verstanden habe ich das immer noch nicht. Heißt das vorschüssig bei A z.B, dass ich am Anfang eines jeden Jahres 200.000€ bekomme und gleich mit zusätzlich die Zinsen für das ganze Jahr? Und nachschüssig dann bei B das ich zwar am Anfang eines jeden Monats 17.000€ bekomme aber die Zinsen erst am Monatsende?

Mein Ansatz (vermutlich falsch) ist folgender:

A)
1.Jahr 200.000€ -> 10.000€ Zinsen = 210.000€
2.Jahr 210.000€ + 200.000€ -> 20.500€ Zinsen = 430.500€
3.Jahr 430.500€ + 200.000€ -> 31.525€ Zinsen = 662.025€
4.Jahr 662.025€ + 200.000€ -> 43.101,25€ Zinsen = 905.126,25€
5.Jahr 905.126,25€ + 200.000€ -> 55.256,31€ Zinsen = 1.160.382,56€

Stimmt das so, oder wie berechnet man sonst das mit vorschüssig? Kann man das auch irgendwie schneller rechnen als Jahr für Jahr zusammen zu addieren und immer wieder neu die Zinsen auszurechnen??

B)
Kann es sein das ich bei B zwar 60 Monate lang 17.000€ bekomme aber in der Rechnung nur mit 59 Monaten Zinsen rechne?
Aber dann weiß ich immer noch nicht, wie ich nicht jeden Monat extra rechnen muss, sondern das einfacher rechnen kann. Wenn ich mit Zinseszins rechne dann kann ich das nur mit Jahren.

17.000€ * (1+0,05)^5 z.B., aber wie ist das bei Monaten oder auch Quartalen und Tagen?

C)
Hier eigentlich das selbe Problem wie bei A und B, auch das ich hier wieder nicht weiß wie man es mit Quartalen rechnet. Man kann das ja nicht einfach mal 4 rechnen und dann einfach in Jahren rechnen?

Wäre echt toll wenn mir das mal jemand erklären könnte, wie ihr merkt versteh ich das ganze absolut nicht.

Danke

Pontius · 6. Januar 2010 um 16:05

Hallo,

Sie wollen eine Immobilie verkaufen und erhalten folgende
Angebote. Vergleichen Sie bitte diese Angebote über die
Barwerte bei 5% Zinseszins pro Jahr.

A: Fünf Jahre lang 200.000€ vorschüssig
B: 60 Monate lang 17.000€ nachschüssig
C: 20 Quartale 50.000€ vorschüssig

Heißt das vorschüssig bei A z.B, dass ich am
Anfang eines jeden Jahres 200.000€ bekomme

Ja.

und gleich mit zusätzlich die Zinsen für das ganze Jahr?

Nein, da die Zahlungen nicht zur gleichen Zeit in gleicher Höhe erfolgen, sollst du die Barwerte ermitteln, um die Angebote vergleichen zu können. Diese werden durch Abzinsung der zukünftigen Zahlungen ermittelt. Der gleiche Geldbetrag hat einen umso höheren Wert, je früher man ihn erhält, denn du könntest ihn ja z.B. zu einem Zinssatz von z.B. 5% p.a. anlegen. Die 5% erhältst du also nicht vom Käufer der Immobilie, sondern ggf. von dem Geldinstitut bei dem du das Geld anlegst.

Und nachschüssig dann bei B das ich zwar am Anfang eines jeden Monats 17.000€ bekomme aber die Zinsen erst am Monatsende?

Nein, nachschüssig bedeutet in diesem Fall, dass du die 17000€ am Ende eines jeden Monats bekommst.

Mein Ansatz (vermutlich falsch) ist folgender:

A)
1.Jahr 200.000€ -> 10.000€ Zinsen = 210.000€
2.Jahr 210.000€ + 200.000€ -> 20.500€ Zinsen = 430.500€
3.Jahr 430.500€ + 200.000€ -> 31.525€ Zinsen = 662.025€
4.Jahr 662.025€ + 200.000€ -> 43.101,25€ Zinsen = 905.126,25€
5.Jahr 905.126,25€ + 200.000€ -> 55.256,31€ Zinsen =
1.160.382,56€
Stimmt das so,

Nein.

oder wie berechnet man sonst das mit
vorschüssig? Kann man das auch irgendwie schneller rechnen als
Jahr für Jahr zusammen zu addieren und immer wieder neu die
Zinsen auszurechnen??

Ja, für die Berechnung der Barwerte gibt es entsprechende Formeln.
Aber die müssten dir doch bekannt sein, wenn du dich auf eine Mathe-Prüfung vorbereitest. Wenn nicht, kannst du ja mal selbst danach
recherchieren und meldest dich wieder, wenn du nicht weiter kommst bzw. eine Bestätigung brauchst.

Kann es sein das ich bei B zwar 60 Monate lang 17.000€ bekomme
aber in der Rechnung nur mit 59 Monaten Zinsen rechne?

Ja, wenn du die Zahlung nachschüssig erhälst, könntest du das Geld auch erst später zinsbringend anlegen, als bei einer vorschüssigen Zahlung.

Aber dann weiß ich immer noch nicht, wie ich nicht jeden Monat
extra rechnen muss, sondern das einfacher rechnen kann.

Auch dafür gibt es eine Formel.

C)
Hier eigentlich das selbe Problem wie bei A und B, auch das
ich hier wieder nicht weiß wie man es mit Quartalen rechnet.
Man kann das ja nicht einfach mal 4 rechnen und dann einfach
in Jahren rechnen?

Wäre aber nicht korrekt.
Gruß
Pontius

Pontius · 6. Januar 2010 um 18:47

Nachtrag

Mein Ansatz (vermutlich falsch) ist folgender:

A)
1.Jahr 200.000€ -> 10.000€ Zinsen = 210.000€
2.Jahr 210.000€ + 200.000€ -> 20.500€ Zinsen = 430.500€
3.Jahr 430.500€ + 200.000€ -> 31.525€ Zinsen = 662.025€
4.Jahr 662.025€ + 200.000€ -> 43.101,25€ Zinsen = 905.126,25€
5.Jahr 905.126,25€ + 200.000€ -> 55.256,31€ Zinsen =
1.160.382,56€
Stimmt das so,

Nein.

Rechnerisch ist das richtig. Und du könntest die Angebote auch vergleichen, indem du durch Aufzinsung die Endwerte berechnest.
Aber du sollst lt. Aufgabenstellung die Angebote über die Barwerte vergleichen und müsstest deshalb abzinsen. Der Unterschied sind die verschiedenen Bezugszeitpunkte. Im ersten Fall ist er das Ende des 5.Jahres, im 2. Fall der Anfang des 1. Jahres.

Michael_a5946e · 6. Januar 2010 um 19:37

Hallo, erstmal danke für die Hilfe. Ich glaube ich habe es grade hinbekommen. Also mit dem Barwert bei vorschüssig habe ich folgende Formel:

B = r * ((1+i)^n-1 / i*(1+i)^n) * (1+i)

B = Barwert
r = Rate pro periode
i = Zinssatz pro Periode als Dezimalzahl
n = Laufzeit in Anzahl von Perioden

Für A hab ich jetzt folgendes gerechnet (A: Fünf Jahre lang 200.000€ vorschüssig und 5% ZiZi, Barwert):

B = 200.000 * ((1+0,05)^5-1 / 0,05*(1+0,05)^5) * (1+0,05)
B = 909.190,10€

Für C mit der gleichen Formel (C: 20 Quartale 50.000€ vorschüssig)
Zinsen pro Jahr 5% --> Zinsen pro Quartal 5% / 4 = 1,25%

B = 50.000 * ((1+0,0125)^20-1 / 0,0125*(1+0,0125)^20) * (1+0,0125)
B = 890.965,38€

Und bei B, Barwert nachschüssig mit folgender Gleichung (B: 60 Monate lang 17.000€ nachschüssig)
Zinsen pro Jahr 5% --> Zinsen pro Monat = 5% / 12 = 0,416666%

B = r * ((1+i)^n-1 / i*(1+i)^n)
B = 17.000 * ((1+0,00416666)^60-1 / 0,00416666*(1+0,00416666)^60)
B = 890.965,38€

Kann das sein das da jetzt richtig ist und ich demzufolge Angebot A annehme, weil ich damit am besten wegkomme?

Danke und Gruß

Michael_a5946e · 6. Januar 2010 um 19:40

Bei B kommt 900.842,02€ raus, das andere war nochmal das Ergebnis von C

Pontius · 6. Januar 2010 um 22:59

Ich glaube ich habe es
grade hinbekommen. Also mit dem Barwert bei vorschüssig habe
ich folgende Formel:

B = r * ((1+i)^n-1 / i*(1+i)^n) * (1+i)

B = Barwert
r = Rate pro periode
i = Zinssatz pro Periode als Dezimalzahl
n = Laufzeit in Anzahl von Perioden

Für A hab ich jetzt folgendes gerechnet (A: Fünf Jahre lang
200.000€ vorschüssig und 5% ZiZi, Barwert):

B = 200.000 * ((1+0,05)^5-1 / 0,05*(1+0,05)^5) * (1+0,05)
B = 909.190,10€

Sieht gut aus. Ich habe das gleiche Ergebnis.

Für C mit der gleichen Formel (C: 20 Quartale 50.000€
vorschüssig)
Zinsen pro Jahr 5% --> Zinsen pro Quartal 5% / 4 = 1,25%

Bei der unterjährigen Verzinsung ist dies eine Möglichkeit, nämlich den Jahreszinssatz durch die Anzahl der Zinsperioden zu teilen.
Dabei ergibt sich aber ein höherer Effektivzinssatz:
z.B. i(4)=1,25% —> K(1)=100*1,0125^4=105,09 —> i(eff)=5,09%
Besser wäre, den unterjährigen Zinssatz wie folgt zu berechnen:
allg. —> i(m)= („m“-te Wurzel aus(1+i))-1
hier —> i(4) = (4.Wurzel aus (1+0,05))-1=1,012272-1=0,012272=1,2272%
Ich würde also anstatt mit 1,25% mit 1,23% rechnen.

Und bei B, Barwert nachschüssig mit folgender Gleichung (B: 60
Monate lang 17.000€ nachschüssig)
Zinsen pro Jahr 5% --> Zinsen pro Monat = 5% / 12 = 0,416666%

Analog zu dem oben gesagten käme ich hier auf einen monatl. Zinssatz von i(12)=(12.Wurzel aus 1,05)-1=0,00407= 0,407%.

B = r * ((1+i)^n-1 / i*(1+i)^n)

Formel stimmt.

B = 17.000 * ((1+0,00416666)^60-1 /
0,00416666*(1+0,00416666)^60)
B = 890.965,38€

Angebot A annehme, weil ich damit am besten wegkomme?

Ich habe die Barwerte für die Angebote B und C mit „meinen“ Zinssätzen nicht berechnet, aber ich nehme an, dass die Abweichungen zu deinen Ergebnissen nicht entscheidend sind und du richtig liegst.
Viel Erfolg!