Hallo,
ich habe ein Problem mit folgenden Aufgaben:
pk: y = 1/3x^2 + 2k^2
Begründe oder widerlege: „Der Graph von pk hat keine Nullstellen“
Wie muss ich da vorgehen um das herauszubekommen?
Funktion 0 setzen und nach x auflösen. Dann den Wertebereich von k bestimmen, für den die Gleichung erfüllt ist (hier die leere Menge). Interessanter ist der Fall für y = 1/3x^2 - 2k^2.
pk: y = 1/3x^2 + 2k^2 gk: y = k/2x + 2
Berechne k derart, dass sich die Graphen von pk und gk in nur einem
Punkt schneiden (berühren)
Ich habe nach k aufgelöst, da kommt dann -1/6x + 1 raus.
Doch was muss ich dann machen?
Zeigen, dass der eine Graph immer größere funktionswerte als der andere hat (also: für alle x gilt: pk(x) >= gk(x))
Berechne die Schnittpunkte der Graphen von f und g. Entscheide
außerdem, ob Berührpunkte darunter sind.
Untersuche die Umgebung der Schnittpunkte, ob f mal größer und mal kleiner als g ist oder nicht.
Ein anderer Weg ist über Monotonie (wenn ihr das schon hattet). du bestimmst das Minimum und zeigst, dass f streng monoton wachsend ist (für alle x1 f(x2)). Dann muss ein Schnittpunkt vorliegen, da f nicht mehr kleiner werden kann, wenn es g geschnitten hat.
Ergänzung
Hallo zusammen!
Was Aufgabe 2 angeht, so geht es ja erst mal darum, den Parameter so zu bestimmen, dass es nur einen Schnittpunkt (Berührpunkt) gibt. Dazu müssten die beiden Funktionsgleichungen gleichgesetzt werden:
1/3x^2+2k^2=k/2*x+2
Die durch Umformen entstehende quadratische Gleichung 1/3*x^2-k/2*x+2k^2-2=0 kann man dann daraufhin untersuchen, unter welchen Bedingungen sie nur eine Lösung hat. Das ergibt sich aus dem Ausdruck, der beim Auflösen unter der Wurzel steht (p-q-Formel). Der müsste dann nämlich 0 sein. Leider weiß ich nicht genau, wo der Ausdruck -1/6x+1 herkommt.
Bei Aufgabe 3 ist die Frage, ob man das nicht ohne großen Rechenaufwand am einfachsten aus der Art der Graphen ableiten darf.
Gruß
Brandy