Problem mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wissenschaft Physik
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Ich habe mir diese Woche zwei Bücher gekauft, die sich hauptsächlich mit Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik beschäftgigen.

Im ersten Buch gibt es ein Besipiel mit einem Bergsteiger, der sich aus einzelnen Teilen ein Seil mit 20 Knoten zusammenknotet. Jeder dieser Knoten hält mit einer Wahrscheinlichkeit von 95%. In dem Buch steht jetzt außerdem, dass die Wahrscheinlichkeit, dass der unterste Knoten UND alle davor halten nur noch 36% beträgt (0,95 hoch 20).
Das erscheint mir ja auch noch logisch.

In dem zweiten Buch geht es um Glücksspiele und Lottozahlen und es wird die Behauptung aufgestellt, dass der Zufall kein Gedächtnis hat. Lottozahlen sind zufällig erzeugt. Jetzt geht es um die Frage, ob eine Zahl, die seit mehreren Wochen nicht gezogen wurde, eine höhere Wahrscheinlichkeit für die nächste Ziehung hat, als eine, die in mehreren Vorwochen gezogen wurde. In dem Buch steht jetzt, dass die Lottozahlen unabhängig von der Vorwoche jede Zahl die gleiche Chance hätte.

Aber ist das nicht die gleiche Sache wie mit dem Seil. Müsste es nicht weniger wahrscheinlich sein, dass eine Zahl mehrere Wochen hintereinander gezogen wird?

Für mein Verständnis schließen sich die beiden Behauptungen aus.

Vielen Dank für die Hilfe,

Eva

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Hallo Eva,

Im ersten Buch gibt es ein Besipiel mit einem Bergsteiger, der
sich aus einzelnen Teilen ein Seil mit 20 Knoten
zusammenknotet. Jeder dieser Knoten hält mit einer
Wahrscheinlichkeit von 95%. In dem Buch steht jetzt außerdem,
dass die Wahrscheinlichkeit, dass der unterste Knoten UND alle
davor halten nur noch 36% beträgt (0,95 hoch 20).
Das erscheint mir ja auch noch logisch.

Ja genau. Jeder Knoten „weiß“ nichts über die anderen Knoten. Auch das ist ein Ausdruck davon, daß „der Zufall kein Gedächtnis hat“. _Hätte_ der Zufall ein Gedächtnis, dann würden die Knoten voneinander wissen und ein Knoten würde seine „Entscheidung“, ob er hält oder nicht, davon abhängig machen, was zB. der unterste Knoten macht. Damit wäre die Wahrscheinlichkeit, daß alle Knoten halten eben nicht mehr 0.95^20.

In dem zweiten Buch geht es um Glücksspiele und Lottozahlen
und es wird die Behauptung aufgestellt, dass der Zufall kein
Gedächtnis hat. Lottozahlen sind zufällig erzeugt. Jetzt geht
es um die Frage, ob eine Zahl, die seit mehreren Wochen nicht
gezogen wurde, eine höhere Wahrscheinlichkeit für die nächste
Ziehung hat, als eine, die in mehreren Vorwochen gezogen
wurde. In dem Buch steht jetzt, dass die Lottozahlen
unabhängig von der Vorwoche jede Zahl die gleiche Chance
hätte.

Richtig.

Aber ist das nicht die gleiche Sache wie mit dem Seil. Müsste
es nicht weniger wahrscheinlich sein, dass eine Zahl mehrere
Wochen hintereinander gezogen wird?

Nein, ist es nicht. Nimm mal einen Behälter mit 100 Kugeln, davon 95 weiße und 5 rote. Nun ziehst du zufällig eine Kugel. Die Wahrscheinlichkeit ist 0.95, daß die gezogene Kugel weiß ist, gelle?

Ja, das ist so.

Aber was, wenn ich dir jetzt sage, daß bei zweihundertfünfunddreißig Versuchen vorher auch immer eine weiße Kugel gezogen (und dann wieder zurückgelegt) wurde? Würderst du dann deine Antwort ändern? Ich hoffe nicht.

Auch wenn du sehr oft ziehst, ändert sich daran nichts.

Übrigends ist die Wahrscheinlichkeit, 20 mal hintereinander eine weiße Kugel zu ziehen, ist 0.95^20. Stell dir vor, eine weiße Kugel steht für „der Knoten hält“ und eine rote für „der Knoten reißt“. Es ist -mathematisch- wirklich genau das gleiche wie mit den Knoten.

Gruß,
Jochen

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Hallo, Eva,

die beiden Themen haben nichts miteinander zu tun.

Der Bergsteiger hat eine Überlebenswahrscheinlichkeit von 36% (also nimmt er am Besten ein Sicherungskabel mit…) denn

  • alle Knoten halten : er schafft es
  • ein Knoten hält nicht (egal welcher) : er schafft es nicht.

Das mit dem Lotto finde ich persönlich viel einfacher zu verstehen.
Merke Dir wirlich nur den Satz, dass die Wahrscheinlichkeit kein Gedächtnis hat.
Am besten versteht man das, wenn man nicht Lotto, sondern Münzewerfen betrachtet. Du hast einen Euro mit der Vorderseite und der Rückseite.

Du wirfst ihn zehnmal, immer kommt die Vorderseite.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim elften Mal die Rückseite kommt ? 80% ? 90% ? 99% ???
Nein, 50%. Die Wahrscheinlichkeit für diesen Versuch ist genau dieselbe wie vorher.
Wenn ein neutraler Beobachter, der die ersten zehn Versuche nicht gesehen hat, beim elften dazukäme, würde er selbstverständlich auch sagen „50%“.

Gruss Hans-Jürgen
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