Problem mit einem Integral

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

ich möchte gerne das Integral über |e^(-x^2)*cos(x)| von -unendlich bis + unendlich berechnen, wobei dieses am liebsten analytisch geschehen soll.
Von Wolfram Alpha habe ich sogar eine Stammfunktion bekommen:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate%28Abs…

Weiter unten (nach einer kleinen Berechnungszeit) wird das Integral von 0 bis unendlich mit 0,70118… beziffert, welches ich ja noch mal 2 nehmen muss um das Integral von -unendlich bis + unendlich zu haben.

Jetzt habe ich aber mal versucht die Stammfunktion selber auszuwerten:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt%28Pi%29*%2…

Dieses kommt aber statt 0,70118… nur auf einen Wert von 0,69019…

Um ehrlich zu sein verstehe ich nicht warum es zu einer Abweichung kommt, die zwar klein ist, aber für meine Zwecke unbefriedigend.
Außerdem verstehe ich das sign(cos(x)) in der Stammfunktion nicht - dieses kann ja entsprechend gewählter Grenzen sogar für einen negativen Integralwert sorgen, was meiner Ansicht nach der Tatsache widerspricht, dass über eine Betragsfunktion integriert wird.

Weiß jemand was ich falsch gemacht habe, oder ist das ein Bug in Mathematica?

Schonmal vielen Dank für eine Antwort,

viele Grüße

Manny

#2

Bei Deiner 2.Formel fehlt der Term „sign(cos(unendlich))“ im ersten Summand, oder?

#3

Hi,

erstmal vielen Dank für die Antwort!

Bei Deiner 2.Formel fehlt der Term „sign(cos(unendlich))“ im
ersten Summand, oder?

Ja, den Term hab ich extra weggelassen, da cos(unendlich) nicht definiert ist. sign(cos(unendlich)) kann aber nur die Werte +1 oder -1 annehmen was einmal für ein Integral von 0,69 und einmal -0,69 sorgt - leider aber nicht 0,7… wie ich es auch mittlerweile durch numerische Integration nachweisen konnte.

Gibt es also keine Stammfunktion für diese Funktion, oder habe ich noch einen Denkfehler?

Viele Grüße

Manny

#4

Ja, den Term hab ich extra weggelassen, da cos(unendlich)
nicht definiert ist.

Ist das nicht die Begründung, warum Deine Rechnung falsch ist? Schließlich existiert wohl der Grenzwert nicht. Abgesehen davon weiß ich auch gar nicht, ob Du in die komplexe Funktion so einfach einsetzen darfst. Ich vermute mal, Du machst es Dir hier zu einfach mit dem einfachen einsetzen von „unendlich“.

#5

Hi, nochmal vielen Dank für Antwort.

Ja, den Term hab ich extra weggelassen, da cos(unendlich)
nicht definiert ist.

Ist das nicht die Begründung, warum Deine Rechnung falsch
ist? Schließlich existiert wohl der Grenzwert nicht.

Naja, sagen wir, wir lassen den Kosinus mal raus (der ist ja eh auf das Intervall [-1, 1] beschränkt - bzw. in diesem Fall aufgrund des Betrags auf [0,1]. Dann bleibt nur die Gausfunktion übrig und das Integral über diese Funktion ist konvergent - es ist nämlich Wurzel(Pi). Die Gausfunktion fällt auch sehr schnell ab, sodass Konvergenz an sich kein Problem sein dürfte.

Abgesehen
davon weiß ich auch gar nicht, ob Du in die komplexe Funktion
so einfach einsetzen darfst. Ich vermute mal, Du machst es Dir
hier zu einfach mit dem einfachen einsetzen von „unendlich“.

Stimmt, unendlich kann etwas problematisch sein - daher hab ich einfach mal von 0 bis PI integriert (dieses Integral kann nicht divergieren und auch sonst sehe ich kein Problem warum dieses Integral ungültig sein sollte).
Gemäß http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate%28Abs…
kommt für das Integral ein Wert von 0,701177… raus. Setze ich aber die Grenzen in die ausgegebene Stammfunktion ein, so erhalte ich sogar einen negativen Wert:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sign%28cos%28Pi…
Was ja ansich schon deshalb nicht sein kann, da über eine Betragsfunktion integriert wird und die obere Grenze größer als die untere ist.
Wenn man sich die Stammfunktion von |exp(-x*x)*cos(x)| und exp(-x*x)*cos(x) ausgeben lässt, so unterscheiden sich diese nur um den Faktor sign(cos(x)), was ich ehrlich gesagt recht komisch finde.

Langsam glaube ich echt, dass da ein Bug vorliegt.

Viele Grüße

Manny