Problem mit einer Logarithmusfunktion

Wissenschaft Mathematik
1

Guten Tag,

ich möchte: Ableitungen,Extremstellen und Wendestellen
zu der Funktion: f(x)= 4* ln(x) / x
wissen.

Nun habe ich die 1.Ableitung schon hinbekommen:
f’(x)=4* 1-ln(x) / x
aber die 2. Ableitung ist mir ein Rätsel.
Ich habe zwar die Lösungen für die ganzen Werte/Ableitungen, aber nicht den Rechenweg, der mich brennend interessieren würde. Kann mir jemand die 2. Ableitung,3.Ableitung bzw. Extrem- und Wendestellen Schritt für Schritt vorrechnen?
Jede Hilfe würde mir sehr helfen ^^

Gruß

2

Hey Michael,

also die erste Ableitung ist schon mal richtig.

f(x) = \frac{4 * ln(x)}{x}
dann ist - wie du schon gesagt hast:

f’(x) = \frac{4-4*ln(x)}{x^2}
und wieder nach der Quotientenregel:
f’’(x)= \frac{\frac{4}{x} * x^2 - (4-4*ln(x)) * 2x}{x^4}
und gekürzt dann:
f’’(x)=\frac{8*ln(x)-12}{x^3}
Fehlt noch die dritte Ableitung (nur das Ergebnis, kannst dann nachrechnen :wink: ):
f’’’(x)= \frac{44-24ln(x)}{x^4}

Brauchst dann auch noch Tipps zur Extremwertberechnung oder läuft des?
Gruß René

3

Hallo,

zu der Funktion: f(x)= 4* ln(x) / x

Nun habe ich die 1.Ableitung schon hinbekommen:
f’(x)=4* 1-ln(x) / x

mit einem (von Dir nur vergessenen?) x² im Nenner ist es richtig:

f(x) = 4;\frac{\ln(x)}{x}\quad\Rightarrow\quad f’(x) = 4;\frac{1-\ln(x)}{x^2}

aber die 2. Ableitung ist mir ein Rätsel.

Wie das? Der Schritt von f’ zu f’’ geht doch prinzipiell genauso vonstatten: Du musst wiederum die Quotientenregel anwenden. Vorschlag: Schreib Deine unvollendete Rechnung zur Bestimmung von f’’ hier hin (soviel ist es ja nicht), bis zu dem Punkt, wo Du nicht mehr weiterkommst, und sag dazu, wo genau Dein Prob liegt. Dann wird sich die Sache schnell klären lassen.

Jede Hilfe würde mir sehr helfen ^^

Immer gerne :smile:

Gruß
Martin

4

(Vorweg: woher bekommt man diese schönen Darstellungen für Funktionen?^^)
Ja, die erste Ableitung lautet:

f’(x) = 4 * (1-ln(x)/x^2) = 4 - 4ln(x) / x^2

Quotientenregel? Die habe ich noch nicht gelernt.
Die Aufgaben sind von einem Übungsblatt für die bevorstehende
Mathematik LK Klasur.
Aber schonmal vielen Dank für die Hilfe.
Also die 2. Ableitung könnte ich gar nicht bilden, da ich die Quotientenregel nicht kenne, aber dank des Internets und TheBozzs Beitrag versteh ich das nun und komme auf die Lösung.

5

Hallo und einen schönen Sonntag,

(Vorweg: woher bekommt man diese schönen Darstellungen für
Funktionen?^^)

unter dem Editorfenster, in das Du Artikeltexte eingibst, findest Di einen grauen Kasten, der unter anderem einen Link „Hilfe zur LaTeX-Benutzung“ enthält. Anklicken und lesen.

In Kurzform: Schreib

– hier kommt der LaTeX-Code hin –

dahin, wo die Formel erscheinen soll, und füg den entsprechenden LaTeX-Code ein. Der Aufbau und die Syntaxregeln dieses Codes sind z. B. im Kapitel „Setzen von mathematischen Formeln“ der LaTeX-Kurzanleitung erklärt.
http://www.uni-giessen.de/partosch/TeX/kurse/LaTeX-k…

Ja, die erste Ableitung lautet:

f’(x) = 4 * (1-ln(x)/x^2) = 4 - 4ln(x) / x^2

Quotientenregel? Die habe ich noch nicht gelernt.

Wie hast Du dann ln(x)/x abgeleitet?

Die Aufgaben sind von einem Übungsblatt für die bevorstehende
Mathematik LK Klasur.

Mathematik-Leistungskurs und Unkenntnis der Quotientenregel passen ehrlich gesagt nicht gut zusammen. Aber kennst Du die Produktregel? Davon ist die Quotientenregel nicht weit entfernt, genauer: Man kann die QR aus der PR leicht ableiten:

\begin{eqnarray}
&&\textnormal{Produktregel:}\quad \big(f g\big)’ = f’ g + f g’\nonumber\
&&\textnormal{Quotientenregel:}
\quad \left(\frac{f}{g}\right)’ = \frac{f’ g - f g’}{g^2}\nonumber

Beweis der QR unter Verwendung der PR:

\left(\frac{f}{g}\right)’
= \left(f \frac{1}{g}\right)’
= f’ \frac{1}{g} ; + ; f \left(\frac{1}{g}\right)’
= \frac{f’}{g} ; + ; f \left(-\frac{g’}{g^2}\right)
= \frac{f’ g}{g^2} ; - ; \frac{f g’}{g^2}
= \frac{f’ g - f g’}{g^2}

Wenn noch was unklar ist, hak nach.

Gruß
Martin