Hallo,
Ein Funktion von zwei Veränderlichen (x,y) lautet:
f(x,y) = x^2*y/(x^4 + 2y^2).
Man möchte den Grenzwert lim[(x,y)->(0,0)] f(x,y) ausrechnen bzw. überprüfen, ob er überhaupt existiert. Ich hatte die Idee, x und y durch Polarkoordination (also x=r*cos(t), y=r*sin(t)) auszudrücken. Man erhält dann:
f = r^3*cos(t)^2*sin(t)/(r^4*cos(t)^4 + 2*r^2*sin(t)^2)
bzw. nach Rauskürzen von r^2:
f = r*cos(t)^2*sin(t)/(r^2*cos(t)^4 + 2sin(t)^2).
Meiner Meinung nach geht dieser Ausdruck unabhängig von t gegen Null für r->0.
Und jetzt kommt ein großes Aber: Wenn man y=x^2 setzt, also
f(x,x^2) = x^4/(x^4 + 2*x^4) = 1/3,
ergibt sich als Grenzwert 1/3. (Auf anderen Wegen ergibt sich ebenfalls der Grenzwert Null.) Wieso komme ich mit meiner Rechnung in Polarkoordinaten da nicht drauf? Was habe ich falsch gemacht? Anscheinend muss es eine Fallunterscheidung geben, die ich machen muss, aber ich komm nicht drauf. Wär cool, wenn einer helfen könnte.
Gruß
Marco
Hallo,
mein Ansatz wäre viel einfacher:
f(x,y) = x^2*y/(x^4 + 2y^2)
falls x->0 und y ->0 kann man x=y setzen:
x^2 * x / (x^4 + 2* x^2)
mit x^2 kürzen erlaubt für x>0.
x / (x^2 + 2)
für x->0 folgt dann 0/2 -> 0.
Also sollte herauskommen, ja es läßt sich bestimmen und der Wert ist 0.
Gruss Peter
Hallo,
Erstmal vorneweg @ Q-Bert, leider darf man bei Funktionen mehrer veränderlicher i.A nicht so vorgehen um den allgemeinen Grenzwert in einem Punkt zu bestimmen.(Vgl. z.B. Richtungsableitung)
Denn hier: wenn man sagt x=y bewegt man sich auf einer geraden gegen den Ursprung , und erhält dann leider auch nur den grenzwert der Funktion eingeschrängt auf diese gerade.
Wie von Marco schon richtig festgestellt kann es nun auf einer anderen kurve, z.b. eine parabel oder einer anderen gerade etc. einen anderen grenzwert geben.
(Einfaches bsp. f=1/x , hier hat man z.b. jeh nachdem woher man kommt den grenzwert inf oder -inf)
Genau deshalb ist es der trick polarkoordinaten zu verwenden, denn man kann sich mit ihnen wenn man r-> betrachtet auf allen möglichen kurven nähern und bekommt so einen allg. grenzwert herraus.
@ Marco: Du hast vlt. übersehen das der nenner abhägig vom winkel null werden kann , dort wäre dann eine fallunterscheidung angebracht.Versuch doch einfach mal eine Partialbruch zerlegung.
Gruß
Blahaha
Kleiner Tipp, vergiss das mit der PBZ
versuchs lieber wie folgt:
f(x,y)=(x^4+2y^2/(x^2*y))^-1
=(x^4/(x^2*y)+2y/(x^2*y))^-1
=(x^2/y+2y/x^2)^-1
f(r,t)=(r/a+2a/r)^-1 mit (x,y)->(rcos(t),rsin(t) und a:=sin(t)/cos^2(t)
naja dann kannste unterscheiden und r->0 bilden
Gruß, Blahaha
Hallo,
Ein Funktion von zwei Veränderlichen (x,y) lautet:
f(x,y) = x^2*y/(x^4 + 2y^2).
Man möchte den Grenzwert lim[(x,y)->(0,0)] f(x,y) ausrechnen
bzw. überprüfen, ob er überhaupt existiert. Ich hatte die
Idee, x und y durch Polarkoordination (also x=r*cos(t),
y=r*sin(t)) auszudrücken. Man erhält dann:
f = r^3*cos(t)^2*sin(t)/(r^4*cos(t)^4 + 2*r^2*sin(t)^2)
bzw. nach Rauskürzen von r^2:
f = r*cos(t)^2*sin(t)/(r^2*cos(t)^4 + 2sin(t)^2).
Meiner Meinung nach geht dieser Ausdruck unabhängig von t
gegen Null für r->0.
Das ist nicht richtig.
Nimm z.B.
t®=\arccos\left(\sqrt{\frac{\sqrt{1+4r^2}-1}{2r^2}}\right)
Bei diesem Winkel gilt sin(t®)=r*cos2(t®) und damit
f\left(r,t®\right)=\frac{r^2\cos^4\left(t®\right)}{r^2\cos^4\left(t®\right)+2r^2\cos^4\left(t®\right)}=\frac{1}{3}
Das ist logisch, denn
k®=\begin{pmatrix}r\cos(t®)\r\sin(t®)\end{pmatrix}
ist natürlich einfach die Darstellung deiner Parabel in Polarkoordinaten.
Grüße
hendrik
Hi,
Zumindest bin ich beruhigt, dass auch bei der Darstellung in Polarkoordinaten ein anderer Grenzwert für die Annäherung auf der Parabel rauskommt. Die spannende Frage ist nun: Wärst du darauf gekommen, wenn du die Aufgabe gesehen hättest und ich das nicht schon in meiner Frage geschrieben hätte? Wenn ja, wie? Wie kann man das, was du erläutert hast, sehen?
Gruß
Marco
Hi,
Zumindest bin ich beruhigt, dass auch bei der Darstellung in
Polarkoordinaten ein anderer Grenzwert für die Annäherung auf
der Parabel rauskommt. Die spannende Frage ist nun: Wärst du
darauf gekommen, wenn du die Aufgabe gesehen hättest und ich
das nicht schon in meiner Frage geschrieben hätte?
Du hast ja gemeint, dass
f(r,t)=\frac{r\cos^2(t)\sin(t)}{r^2\cos^4(t)+2\sin^2(t)}
unabhängig von t gegen 0 geht für r->0.
Allgemein gilt, dass der Grenzwert eines Bruchs gleich dem Bruch der Grenzwerte von Zähler und Nenner ist, falls dieser definiert ist.
Für r->0 geht dein Zähler gegen 0. Das einzige was ihn daran hindern könnte wäre, dass sin oder cos gegen plus oder minus unendlich gehen, und das ist ausgeschlossen.
Dein Nenner geht für r->0 gegen 2sin2(t).
Wenn dieser Ausdruck nicht gegen 0 geht, dann strebt dein ganzer Bruch gegen 0.
Wenn du aber t in Abhängigkeit von r so wählst, dass mit r->0 auch sin(t)->0 gilt, dann ist der Grenzwert deines Bruchs nicht mehr einfach Grenzwert Zähler durch Grenzwert Nenner, denn dass wäre 0/0 und das ist nicht definiert.
Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs beide gegen 0 streben, dann kann der Grenzwert des Bruchs alles sein von -&infin bis &infin, u.a. auch 1/3 sowie bei dir.
Wenn du z.B. t konstant 0 wählst (d.h. du näherst entlang der x-Achse), dann strebt f(r,t) gegen plus oder minus unendlich, je nachdem ob du von r>0 oder von r2 in Polarkoordinaten, also
r\sin(t)=r^2\cos^2(t)
Wenn man r kürzt und dann quadriert erhält man
\sin^2(t)=r^2\cos^4(t)
Wenn du sin2 ersetzt durch 1-cos2 und dann substituierst u=cos2, dann erhälst du eine quadratische Gleichung für u. Die kannst du lösen, dann resubstituieren, und du erhälst t in Abhängigkeit von r, so dass r*cos(t®) und r*sin(t®) deine Parabel darstellt.
Grüße
hendrik