muss sie bis morgen gelöst haben um ein testat zu bekommen, irgendwie raff ichs net! ich weiß das ich das für 1. das hinreichende kriterien erfüllen muss, die folge untersuche und das ich die konvergenz mit dem majorantenkriterium lösen kann, weiß aber nicht wie. und bei 2. hab ich gar keine ahnung. das die reihe eine teleskopsumme ist sehe ich auch nicht, selbst wenn ich mir die werte rausschreibe und von einer vollst. ind. hab ich erst einmal was gehört. also mein todesurteil! wer kann mir helfen??? mfg catweazle
http://home.arcor.de/arcorweazle/testataufgabe.JPG
ich weiß das ich das für 1. das
hinreichende kriterien erfüllen muss, die folge untersuche und
das ich die konvergenz mit dem majorantenkriterium lösen kann,
weiß aber nicht wie.
Naiv gesagt kann man eine Zahl (z.B. 3) finden und beweisen das der Wert der Reihe nie grösser als dieselbe wird.
Der Erste Teil ist einfach:
Man betrachte die Reihe Summe(k von 2 bis OO)1/(k-1)²
man kann sehr leicht zeigen (hier bist Du selbst gefragt), dass für jedes k>=2 gilt: 1/(k²-1)[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Der Ausdruck 1/(k²-1) läßt sich um schreiben zu:
1/(k²-1)=1/((k-1)(k+1)= „Partialbruchzerlegung“ = 1/2(1/(k-1)-1/(k+1))
Somit ist auch summe(k=2 bis oo)(1/(k²-1))=summe(k=2 bis oo)(1/2(1/(k-1)-1/(k+1)))=1/2*summe(k=2 bis oo)((1/(k-1)-1/(k+1)))
Jetzt betrachten wir uns die Partialsumme
1/2*summe(k=2 bis N)((1/(k-1)-1/(k+1)))=1/2*(1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+…+1/(N-2)-1/N+1/(N-1)-1/(N+1))
=1/2(1+1/2-1/N-1/(N+1))
Es fallen also außer den ersten und den letzten beiden Ausdrücken alle weg.
Läßt man nun N gegen oo gehen, bekommt man als Grenzwert 1/2*(1+1/2)=3/4 und dies ist dein gesuchtes Ergebnis.
Wie ich sehe hattet Ihr keine Partialbruchzerlegung. Du müsstest also
summe(k=2 bis N)(1/(k²-1)=1/2*(1+1/2-1/N-1/(N+1)) noch mittels Induktion beweisen.
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
