Problem mit Wahrscheinlichkeitsaufgabe

[Ionel_c07017]

Hallo Leute, ich habe im Rahmen einer Vorlesung (welche ich leider nicht wirklich verstanden habe) eine Aufgabe gestellt bekommen, bei welcher ich leider Probleme habe. Ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen =)
Erstmal zur Aufgabe:

Alice und Bob wollen Kinder. Sie haben sich dafür entschieden so lange Kinder zu Zeugen bis sie
entweder zwei Mädchen oder vier Kinder haben. Wir nehmen an: Es kommen keine Mehrfachgeburten
vor und die Wahrscheinlichkeit für die Ereignisse „ein Mädchen wurde gezeugt“ und „ein
Junge wurde gezeugt“ ist jeweils 1/2. Die einzelnen Zeugungen sind voneinander unabhängig. Wie
hoch ist die Wahrscheinlichkeit für die folgenden Ereignisse?

a) Alice und Bob haben zwei Mädchen unter der Bedingung, dass das älteste Kind ein Junge ist.

b) Das älteste Kind ist ein Mädchen unter der Bedingung, dass Alice und Bob zwei Mädchen
haben.

Bei (a) habe ich bereits versucht mithilfe eines Wahrscheinlichkeitsbaumes ein Ergebnis zu finden. Jedoch bin ich dabei auf mehrere Möglichkeiten gestoßen und weiß nun nicht welches Ergebnis richtig ist (da z.B J-M-J-M; J-M-M; J-J-M-M richtig wären).Was muss ich hier nun tun?
Bei (b) habe ich ein ähnliches Problem. Hier wären doch die richtigen Lösungen folgende: M-J-J-M; M-J-M; M-M.

Ich hoffe das mir jmd helfen kann. ICh danke euch schonmal im Vorraus =)

lg Ionel

[anon49514712]

Hi,

Alice und Bob

Sehr ausgefallene Namen(keine Beleidigung ^^).

wollen Kinder. Sie haben sich dafür entschieden
so lange Kinder zu Zeugen bis sie
entweder zwei Mädchen oder vier Kinder haben.

Das ist das Ziel, 2 Mädchen oder 4 Kinder insgesamt.

Wir nehmen an:
Es kommen keine Mehrfachgeburten
vor und die Wahrscheinlichkeit für die Ereignisse „ein
Mädchen wurde gezeugt“ und „ein
Junge wurde gezeugt“ ist jeweils 1/2. Die einzelnen Zeugungen
sind voneinander unabhängig.

Also was steht da drinne:

Ich bezeichne jetzt einfach mal:
J=Jung
M=Mädchen

Die Wahrscheinlichkeit J oder M zu bekommen sind jeweils 0,5.
Hier ist die 2. Geburt nicht von der 1. Geburt abhängig(wie im realen Leben auch).

Wenn du jetzt ein Baumdiagramm erstellst, wirkt das viel einfacherer.
Dort könnte es z.B. ein Zweig geben:

->M->M
oder J->M->M
oder ->j->j->j->j
oder …
Hauptsache du folgst dem Pfad und es sind entweder 2 Mädchen oder insg. 4 Kinder geboren. Dann wendest du die Pfadregel(alle Wahrscheinlichkeiten auf dem Pfad werden multipliziert) an. Nun hast du für jeden Pfad eine gewisse Wahrscheinlichkeit.
Jetzt kannst du die „Astregel“(so nenne ich die immer) anwenden, indem du jeh nach Voraussetzung die verschiedene Äste addieren musst.

Wie
hoch ist die Wahrscheinlichkeit für die folgenden Ereignisse?

a) Alice und Bob haben zwei Mädchen unter der Bedingung, dass
das älteste Kind ein Junge ist.

Das heißt, das auf jedenfall vor den 2 Mädchen min. ein Junge geboren sein musste(eben der Älteste),.

b) Das älteste Kind ist ein Mädchen unter der Bedingung, dass
Alice und Bob zwei Mädchen
haben.

Hmm… die Frage finde ich blöd gestellt, aber das ist eben in der Stochastik so. Als Alice und Bob haben 2 Mädchen und eine davon ist die Älteste. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, das Alice und Bob nur 2 Mädchen haben und eine davon die Älteste ist? XD

mfg,

Hanzo

[Ionel_c07017]

Hey =) Danke dir schonmal für eine Hilfe

Also meint (b), das er nur 2 Mädchen haben kann? also ist die Wahrscheinlichkeit 1/4 oder?

lg

[OlafG]

Hallo,

Also meint (b), das er nur 2 Mädchen haben kann? also ist die
Wahrscheinlichkeit 1/4 oder?

das ist halt nicht so klar.

„b) Das älteste Kind ist ein Mädchen unter der Bedingung, dass Alice und Bob zwei Mädchen haben.“

Die Formulierung ist eben nicht eindeutig. Es könnte gemeint sein:

dass sie (unter anderem) 2 Mädchen haben, also evt. auch noch einen Jungen - oder

dass sie „nur“ 2 Mädchen haben und kein weiteres Kind.

Im zweiten Fall hättest Du recht, im ersten kämen noch die Pfade MJM und MJJM dazu.

Gruß
Olaf

[Hasenfu]

Hossa

Alice und Bob wollen Kinder. Sie haben sich dafür entschieden
so lange Kinder zu Zeugen bis sie :entweder zwei Mädchen oder
vier Kinder haben.

Zunächst ermittelst du die Kinder-Kombinationen, die A und B am Ende ihrer „Bemühungen“ haben können. Dazu eignen sich Binärzahlen sehr gut (1=Mädchen, 0=Junge). A und BSie hören auf, wenn 4 Kinder da sind oder 2 Einsen da sind, je nach dem, was zuerst eintritt. Bei 4 Kindern gibt es folgende Kombinationen:

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Bei 3 Kindern sind folgende Kombinationen möglich:

000 001 010 011 100 101 110 111

Und bei 2 Kindern:

00 01 10 11

Offensichtlich gibt es 11 mögliche Kombinationen von Kindern. Diese kann man in einer Tabelle zusammen mit der Wahrscheinlichkeit für ihr Auftreten eintragen. Aus den Vorgaben

Es kommen keine Mehrfachgeburten vor

die Wahrscheinlichkeit für die Ereignisse „ein Mädchen wurde gezeugt“
und „ein Junge wurde gezeugt“ ist jeweils 1/2.

Die einzelnen Zeugungen sind voneinander unabhängig.

ergeben sich direkt die Wahrscheinlichkeiten für die jeweiligen Geschwisterkombinationen:

Nummer Kombination Wahrscheinlichkeit
 01 M M 1/4
 02 J M M 1/8
 03 M J M 1/8
 04 J J J J 1/16
 05 J J J M 1/16
 06 J J M J 1/16
 07 J J M M 1/16
 08 J M J J 1/16
 09 J M J M 1/16
 10 M J J J 1/16
 11 M J J M 1/16

a) Alice und Bob haben zwei Mädchen unter der Bedingung, dass
das älteste Kind ein Junge ist.

Diese Bedingung wird offenbar von folgenden Kombinationen erfüllt: 02, 07, 09.

P_a=\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}

b) Das älteste Kind ist ein Mädchen unter der Bedingung, dass
Alice und Bob zwei Mädchen haben.

Hier passen die Kombinationen: 01, 03, 11

P_b=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{7}{16}

Viele Grüße

Hasenfuß

[Martin]

Hallo,

a) Alice und Bob haben zwei Mädchen unter der Bedingung, dass
das älteste Kind ein Junge ist.

Diese Bedingung wird offenbar von folgenden Kombinationen
erfüllt: 02, 07, 09.

P_a=\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}

schön, nur ist das nicht die gesuchte Wahrscheinlichkeit

p(zwei Mädchen | das älteste Kind ist ein Junge)

sondern

p(zwei Mädchen und das älteste Kind ist ein Junge).

Bei b) analog. In dieser Aufgabe wird eindeutig nach bedingten Wahrscheinlichkeiten gefragt (nicht gemerkt?).

Gruß
Martin

[Hasenfu]

Hossa Martin

Diese Bedingung wird offenbar von folgenden Kombinationen
erfüllt: 02, 07, 09.

P_a=\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}

schön, nur ist das nicht die gesuchte Wahrscheinlichkeit
p(zwei Mädchen | das älteste Kind ist ein Junge)

Diese Wahrscheinlichkeit habe ich ja auch nicht angegeben. Denn 10 der möglichen 11 Kind-Kombinationen erfüllen diese „oder“-Bedingung, also alle bis auf „M J J J“. Daher wäre diese Wahrscheinlichkeit 15/16.

sondern

p(zwei Mädchen und das älteste Kind ist ein Junge).

Und das sind genau die Möglichkeiten 02, 07 und 09 aus der obigen Lösung.

Bei b) analog. In dieser Aufgabe wird eindeutig nach
bedingten Wahrscheinlichkeiten gefragt (nicht gemerkt?).

Und in der Antwort wird eindeutig auf die bedingten Wahrscheinlichkeiten eingegangen (nicht gemerkt?)

Viele Grüße

Hasenfuß

[OlafG]

Hallo,

Und das sind genau die Möglichkeiten 02, 07 und 09 aus der
obigen Lösung.

richtig, nur stimmen die daneben stehenden Wahrscheinlichkeiten nicht mehr. Eben weil Bedingung ist, dass das erste Kind ein Junge ist. Oder anders gesagt, die W. dafür, dass das erste Kind ein Junge ist, ist nicht mehr 1/2, sondern genau 1. Das ist das Wesen der bedingten Wahrscheinlichkeiten.
Für Möglichkeit 02 (JMM) ist also die W. nicht 1/8, sondern 1/4.
Usw.

Gruß
Olaf

[Hasenfu]

Achso, jetzt weiß ich, was ihr meint…
Hossa Martin, hossa Olaf

richtig, nur stimmen die daneben stehenden
Wahrscheinlichkeiten nicht mehr. Eben weil Bedingung ist, dass
das erste Kind ein Junge ist. Oder anders gesagt, die W.
dafür, dass das erste Kind ein Junge ist, ist nicht mehr 1/2,
sondern genau 1. Das ist das Wesen der bedingten
Wahrscheinlichkeiten.

Achso, jetzt habe ich verstanden, was ihr meint… So habe ich die Aufgaben ehrlich gesagt nicht interpretiert. Aber man kann sie natürlich so interpretieren…

Nummer Kombination Wahrscheinlichkeit
 01 M M 1/4
 02 J M M 1/8
 03 M J M 1/8
 04 J J J J 1/16
 05 J J J M 1/16
 06 J J M J 1/16
 07 J J M M 1/16
 08 J M J J 1/16
 09 J M J M 1/16
 10 M J J J 1/16
 11 M J J M 1/16

a) Alice und Bob haben zwei Mädchen unter der Bedingung, dass
das älteste Kind ein Junge ist.

Die Bedingung, dass das älteste Kind ein Junge ist, erfüllen die Kombinationen 02, 04, 05, 06, 07, 08 und 09. Sei also A das Ereignis, dass das älteste Kind ein Junge ist. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten einer solchen Kombination ist

P(A)=\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}

Sei nun B die Wahrscheinlichkeit, dass es 2 Mädchen gibt, dann ist „A und B“ die Wahrscheinlichkeit, dass das erste Kind ein Junge ist und noch 2 Mädchen da sind. Das wird nun von den Fällen erfüllt, die ich oben aufgeführt habe: 02, 07, 09. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten ist diejenige, die ich angegeben hatte:

P(A\cap B)=\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}

Die Wahrscheinlichkeit, dass es 2 Mädchen gibt unter der Bedingung, dass das erste Kind ein Junge ist, wäre dann:

P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{1/4}{1/2}=\frac{1}{2}

b) Das älteste Kind ist ein Mädchen unter der Bedingung, dass
Alice und Bob zwei Mädchen haben.

Ereignis A ist jetzt, dass Alice und Bob 2 Mädchen haben. Das sind die Kombinationen: 01, 02, 03, 07, 09, 11. Also gilt:

P(A)=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}=\frac{11}{16}

Ereignis B ist nun, dass dass das älteste Kind ein Mädchen ist. Dann ist „A und B“ wieder die Wahrscheinlichkeit, die ich angegeben habe, nämlich für das Eintreten der Fälle: 01, 03, 11

P(A\cap B)=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{7}{16}

Die bedingte Wahrscheinlichkeit wäre nun:

P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{7/16}{11/16}=\frac{7}{11}

Meintet ihr diese Interpretation? Wenn das gemeint war, habe ich die Aufgabenstellung missverstanden…

Viele Grüße

Hasenfuß

[Martin]

Hallo,

Meintet ihr diese Interpretation?

jahaaa In meinen Augen lässt die Formulierung „Das älteste Kind ist ein Mädchen unter der Bedingung, dass Alice und Bob zwei Mädchen haben“ aber auch wirklich nur diese Interpretation zu. Deine Ergebnisse 1/2 bzw. 7/11 für die bedingten Wahrscheinlichkeiten habe ich ebenfalls rausbekommen.

Wenn das gemeint war, habe ich die Aufgabenstellung missverstanden…

No prob.

Gruß und ein schönes WE
Martin