Problem Rekonstruktionsaufgaben

Wissenschaft Mathematik
#1

Ich komme bei einer Rekonstruktionsaufgabe nicht weiter:

Eine Funktion 3. Grades hat einen Wendepunkt bei 3, eine Nullstelle bei 3 und den Hochpunkt (2/2)

f(x)= ax^3 + bx^2 + cx + d
f´(x)= 3ax^2 + 2bx + c
f´´(x)= 6ax + 2b

Wendepunkt bei 3:
f´´(3)= 0 => 6a * (3) + 2b = 0 => 18a + 2b = 0

Nullstelle bei 3:
f(3)= 0 => a * (3)^3 + b * (3)^2 + c * (3) + d = 0
=> 27a + 6b + 3c + d = 0

f´(3)= 0 => 3a * (3)^2 + 2b * 3 + c = 0
=> 27a + 6b + c = 0

Hochpunkt (2/2):
f´(2)= 0 => 3a * (2)^2 + 2b * (2) + c = 0
=> 12a + 4b + c = 0

f(2)= 2 => a * (2)^3 + b * (2)^2 + c * (2) + d = 2
=> 8a + 4b + 2c + d = 2

Ab da an weiß ich nicht weiter.

Wäre echt toll, wenn mir jemand helfen könnte

Grüße Lara

#2

hi lara,
eingesetz hast du ja schon. jetzt musst du nur noch ganz simpel umformen und nach bestimmten variablen auflösen.

f(x)= ax^3 + bx^2 + cx + d
f´(x)= 3ax^2 + 2bx + c
f´´(x)= 6ax + 2b

Wendepunkt bei 3:

f´´(3)= 0 => 6a * (3) + 2b = 0 => 18a + 2b = 0

(I)
18a+2b = 0 (man zieht auf beiden seiten 2b ab)
18a = -2b
-9a = b
somit wissen wir etwas genauer was b ist.
das können wir jetzt nutzen und bei den anderen gleichungen einsetzen

Hochpunkt (2/2):

f’(2)= 0 = 12a+4b+c

hier können wir einsetzen, was wir aus (I) erfahren haben.
(II)
12a+4(-9a)+c = 0
12a-36a+c = 0
-24a+c=0
c=24a

Nullstelle bei 3:
f(3)= 0 = 27a+9b+3c+d= 0

hier dann (I) und (II) einsetzen:

27a+9(-9a)+3(24a)+d= 0
27a-81a+72a+d=0
18a+d=0
d= -18a

jetzt haben wir folgendes:
(I) b= -9a
(II) c= 24a
(III)d= -18a

f(2)= 2 => a * (2)^3 + b * (2)^2 + c * (2) + d = 2

=> 8a + 4b + 2c + d = 2

setzen wir das nun ein:
8a+4(-9a)+2(24a)+(-18a) = 2
8a-36a+48a-18a = 2
2a=2
a=2

setzen wir das wieder bei b, c und d ein erhalten wir folgende funktion(sofern ich mich nicht verrechnet hab):
f(x)=x^3-9x^2+24x-18

gruß
hans

#3

wie kommst du denn auf f´(3) =0? …In der Aufgabe steht doch nicht, dass es eine Extremstelle bei 3 hat… lass das weg!

zum Rest: du hast 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten. Das ist ein Lineares Gleichungssystem.

ähm… Wie man da rankommt, solltest du am besten mal bei Wikipedia raussuchen. Man schreibt alle Gleichungen untereinander und dann addiert/subtrahiert man zu manchen Gleichungen ein vielfaches einer anderen Gleichung, sodass dann jeweils nur eine Variable übrig bleibt. (Gauß-Verfahren)
Oder so, dass man in der obersten zeile nur eine variable hat, in der zweiten 2 usw.(oder in der obersten 4, in der zweiten dann 3, in der dritten 2 und in der vierten 1)…Egal, Alle Methoden laufen dann darauf hinaus, dass man Variablen „eleminiert“.

Ich geb dir mal die Lösung zu deiner:
a= -2/25
b= 18/25
c= -48/25
d= 18/5

Gruß, Michael :smile:

#4

Bist ja fast schon fertig.

8a + 4b + 2c + d = 2
27a + 6b + c = 0 -> 27a + 6b = - c
12a + 4b + c = 0 -> 12a + 4b = - c

-> 27a+ 6b = 12a + 4b
15a = -2b
-7.5a = b

27a+ 6(-7.5a) = 12a + 4(-7.5a)

dann nach a auflösen und oben
immer wieder die Ergebnisse einsetzen

hoffe du kommst weiter mit.

#5

Bist ja fast schon fertig.

8a + 4b + 2c + d = 2
27a + 6b + c = 0 -> 27a + 6b = - c
12a + 4b + c = 0 -> 12a + 4b = - c

-> 27a+ 6b = 12a + 4b
15a = -2b
-7.5a = b

27a+ 6(-7.5a) = 12a + 4(-7.5a)

hoffe du kommst weiter mit