Hi,
ich möchte gerne eine Linienintegralaufgabe lösen, komme aber nicht weiter weil es bei der Vektorrechnung scheinbar hapert, ich hoffe das mir da jemand auf die Sprünge helfen kann.
Aufgabe:
Man integriere das Vektorfeld V(x,y,z)=[[z²+2xy][x²+2yz][y²+2xz]] vom Anfangspunkt P1=(1;4;2) zum Endpunkt p4=(4;0;3) über einen parallel zu den Achsen verlaufenden Weg, d.h. von P1 geradlinig nach P2=(4;4;2) und dann geradlinig weiter nach P3=(4;0;2) zum Endpunkt P4. (Skizze ist Hilfreich)
Ich weis nun nicht genau wie man die Verschiedenen Ortsvektoren ermittelt um diese dann in das Vektorfeld V einzufügen.
Ich habe für Φ1=(3t+1;4;2) für Φ2=(-4;-4t+4;2) für Φ3=(4;0;t+2) aber das muss irgend wie falsch sein. In der Musterlösung stehen folgende Werte: Φ1=(t;4;2) für Φ2=(4;4-t;2) für Φ3=(4;0;t). Kann es vielleicht sein das die Musterlösung falsch ist oder kann mir jemand sagen was ich für einen Fehler mache.Ich kann die Ergebnisse der Musterlöung überhaupt nicht nachvollziehen.
Man integriere das Vektorfeld
V(x,y,z)=[[z²+2xy][x²+2yz][y²+2xz]] vom Anfangspunkt
P1=(1;4;2) zum Endpunkt p4=(4;0;3) über einen parallel zu den
Achsen verlaufenden Weg, d.h. von P1 geradlinig nach
P2=(4;4;2) und dann geradlinig weiter nach P3=(4;0;2) zum
Endpunkt P4. (Skizze ist Hilfreich)
Ich habe für Φ1=(3t+1;4;2) für Φ2=(-4;-4t+4;2) für
Φ3=(4;0;t+2) aber das muss irgend wie falsch sein.
das „-“ in der ersten Komponente von phi2 (-4) ist definitiv falsch; phi2 muß die Form (4, …, 2) haben. An die Stelle „…“ muß eine Funktion f(t) rein, die für irgendeinen "Start-"Wert t1 den Funktionswert f(t1) = 4 annimmt, und für irgendeinen "Stop-"Wert t2 den Funktionswert f(t2) = 0. Diese Funktion kannst Du als Position-von-Zeit-Funktion einer Ameise interpretieren: Die Ameise kriecht während der Zeitspanne t1…t2 von P2(4, 4, 2) nach P3(4, 0, 2), und summiert währenddessen die V>*ds>-Infinitesimale auf. In der Musterlösung ist diese Funktion f(t) = 4 - t mit den dazu passenden Grenzen t1 = 0 und t2 = 4. Daß dieses f(t) „zufällig“ linear ist, bedeutet, daß die Ameise _mit konstanter Geschwindigkeit_ kriecht. Du könntest aber genausogut für f(t) auch f(t) = 0.3 t^2 + 5 t - 3 nehmen, vorausgesetzt, Du wählst t1 und t2 so, daß wieder f(t1) = 4 und f(t2) = 0 erfüllt ist. Daß die Ameise bei diesem f(t) beschleunigt, würde am Ergebnis nichts ändern; das ist so wegen dem phi’-Faktor im Integranden. Bei konstant schnellen Ameisen ist dieser Faktor konstant, wie Du auch anhand der Musterlösung siehst (z. B. phi2’ = (0, -1, 0)). In der Praxis empfehlen sich natürlich lineare f(t)-Funktionen einfach deshalb, weil dadurch die Rechnerei so simpel wie möglich wird. Am Ergebnis würde sich erst was ändern, wenn die Ameise einen anderen Weg nehmen würde. Außer das Vektorfeld ist konservativ, dann ändert sich das Ergebnis nicht mal dann.
Ich kann die Ergebnisse der
Musterlöung überhaupt nicht nachvollziehen.