Problem zur Mengenlehre nach Cantor

Wissenschaft Physik
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Hallo!

Ich beschäftige mich gerade aus Spaß an der Sache mit der Mengenlehre nach Cantor. Dabei bin ich auf ein Mysterium gestoßen (jedenfalls im Rahmen meiner momentanen Begriffswelt wirkt es wie ein Mysterium):

Um den Satz von Cantor-Bernstein zu beweisen wurde in dem mir vorliegenden Buch zunächst bewiesen, dass für zwei Mengen N’ und M gilt |N’|=|M| falls |N|=|M| wenn N, N’ und M in der Beziehung N I,
wobei f(0,b1b2b3…b100a1a2a3…an999…)=0,a1a2a3…an999…

Dann existiert außerdem die injektive Funktion g:
g: I -> R,
wobei f(0,a1a2a3…an999…)=0,b1b2b3…b100a1a2a3…an999…
wobei bei g die Werte b1 bis b100 beliebig sein dürfen (natürlich aus der Menge {0,1,2,3}).

Das würde bedeuten, eine ganz konkrete Lösung für g könnte auch so aussehen:
g: I -> R,
wobei f(0,a1a2a3…an999…)=0,0…0a1a2a3…an999…
wobei die 0 genau hundert mal zu Beginn nach dem Komma auftaucht -> also alle bi sind 0.

So wie ich es verstehe würde es mit JEDER Kombination von bi’s funktionieren. Und das finde ich gelinde gesprochen paradox. Deswegen liegt die Vermutung nahe das ich irgend etwas nicht verstanden habe. Vielleicht kann jemand helfen?

Wenn man jedenfalls annehmen würde, dass alles soweit korrekt ist, würde hiernach gelten: Da f und g existieren, existiert auch ein bijektives h: I -> R, womit gilt: |I|=|R|.

Eine mögliche Schwäche dieser Überlegung sehe ich darin, dass ich von der Korrektheit des Satzes von Cantor-Bernstein ausgehe.

Florian

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Hallo Florian,

…grundlegendes Verständnisproblem meinerseits: Ich denke mir
ständig, wenn gilt Nendliche Mengen handelt. Sobald die Mengen nicht mehr endlich sind, ist obige Behauptung falsch, d.h. zwei Mengen können gleich mächtig sein, obwohl die eine eine echte Teilmenge der anderen ist. Ein Beispiel hast du ja unten angegeben. Das Problem dabei ist aber, dass die Mengen in deiner Übung unnötig kompliziert sind, so dass du dir nicht sicher bist, auch keinen Fehler beim Zeigen der Bijektivität gemacht zu haben.

Nun schau dir aber mal das folgende sehr viel einfachere Beispiel an:

A=Menge der natürlichen Zahlen
B=Menge der geraden natürlichen Zahlen

Es gilt offenbar |A|=|B|, obwohl B eine echte Teilmenge von A ist.
Eine Bijektion von A nach B ist z.B. durch f:A->B, a->2*a gegeben (surjektiv, da jedes Element b € B den Originalpunkt a=b/2 € A hat; injektiv, weil aus f(a1)=f(a2) die Gleichung 2*a1=2*a2 und also a1=a2 folgt).
Dass B eine echte Teilmenge von A ist, beweist z.B. die Existenz des Elements 1 € A, welches in B nicht enthalten ist.

Dass dir dieses Phänomen paradox anmutet, liegt wohl daran, dass du dir in deiner Anschauung immer nur endliche Mengen vorstellen kannst. Die Anschauung ist zwar sogar in der reinen Mathematik oft sehr hilfreich, kann aber manchmal zu scheinbaren Paradoxien führen. Vor allem in der axiomatischen Mengentheorie muss man da stets auf der Hut sein.

Ich beschäftige mich gerade aus Spaß an der Sache mit der
Mengenlehre nach Cantor.

Dann hoffe ich mal, dass du den Spaß dabei nicht verlierst…

Gruß
Jens

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Hallo,
wenn Deine bi’s fix gewählt sind, also z.B. die ersten 100 Nachkommastellen sind durchweg 0, stimmt die Aussage. Sie zeigt (wie das verständlichere Bsp. von Jens), daß es im Unendlichen durchaus möglich ist, daß eine echte Teilmenge einer Menge, diegleiche Mächtigkeit wie die Menge selbst aufweist.
Im Endlichen macht einem das „Schubfachprinzip“ oder die Äquivalenz von Injektivität und Surjektivität bei Abbildungen einer Menge auf sich, einen Strich durch die Rechnung. Hier sind echte Teilmengen, von echt kleinerer Mächtigkeit als ihre umfassende Menge.
Interessant in dem Zusammenhang wäre sicher, sich mal anzuschauen warum N2 oder z.B. R2 gleichmächtig zu N bzw. R sind, also ein Zahlenstrahl nicht „mehr bietet“ als eine Zahlenebene oder das bereits von Cantor gegebene Diagonalisierungsverfahren zur Abzählung der rationalen Zahlen.

Gruss
Enno

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Vielen Dank für die sehr hilfreichen Erklärungen!
o.t.