Probleme bei Wahrscheinlichkeitsrechnungen

[Sebastian_Segnitzer]

Hallo Community,

bei meiner Hausaufgabe für den Matheunterricht bin ich auf ein Problem gestoßen, welches ich selbst gerade nicht in den Griff bekomme. Da wir Morgen allerdings mit hoher Wahrscheinlichkeit eine Stochhastig Ex schreiben, waere es sehr hilfreich, wenn mir jemand helfen kann (NUR ANSATZ, KEINEN KOMPLETTEN LÖSUNGSWEG!!)
Ich schildere nun kurz die Aufgabe, allerding nur den Teil der mir Probleme bereitet, den Rest kürze ich, anschließend schreib ich noch kurz, was mir bis jetzt dazu eingefallen ist, vielleicht ist ja schon ein richtiger Ansatz dabei:
"In einem Kindergarten trinkt jedes Kind in der Frühstückspause genau eines der Getränke Kakao, Erdbeermilch bzw. Vanillemilch jeweils mit der Wahrscheinlichkeit P(k) = 0,6; P(e) = 0,25 bzw P(v) = 0,15. Nehmen Sie an, dass diese Wahrscheinlichkeiten konstant sind und dass die Entscheidung für jedes der drei Getränke jeweils unabhängig erfolgen.

3.1…
3.2…
3.3 Nun wird eine Gruppe von 20 Kindern zufaellig ausgewaehlt.
a.) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens eines der Kinder an diesem Tag Vanillemilch bestellt.
b.) Ermitteln Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit mindestens zwei der 20 Kinder an diesem Tag Vanillemilch waehlen.
c.) Ermitteln Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit höchstens zwei der 20 Kinder Vanillemilch waehlen"

Zu a.): Meine Idee ist, dass man das Ganze wie in einem Baumdiagramm über 20 Züge darstellen kann, sprich 3 hoch 20 Kombinationen die möglich sind.
Die Kombinationen, das keine Vanille vorkommt ist in meinen Augen (2/3) hoch 20 * alle Kombinationen. Allerdings komme ich nun nicht auf die, bei denen nur 1 mal Vanillemilch vorkommt. Das zusammen gezaehlt, geteilt durch alle Kombinationen und dann mal 0,85 müsste doch dann meine Wahrscheinlichkeit ergeben?

b, wird dann wohl 1-die Wahrscheinlichkeit aus a sein.

c, müsste so wie die a ablaufen, nur das ich noch die kombinationen mit 2 V mitnehmen.

So das wars vorerst, ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Gruß

[Diether_2c2c7e]

Hallo Sebastian,

3.3 Nun wird eine Gruppe von 20 Kindern zufaellig ausgewaehlt.
a.) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens
eines der Kinder an diesem Tag Vanillemilch bestellt.
Zu a.): Meine Idee ist, dass man das Ganze wie in einem
Baumdiagramm über 20 Züge darstellen kann, sprich 3 hoch 20
Kombinationen die möglich sind.
Die Kombinationen, das keine Vanille vorkommt ist in meinen
Augen (2/3) hoch 20 * alle Kombinationen.

Dann musst Du aber noch jeden Pfad im Baum mit der Wahrscheinlichkeit gewichten, da die Wahrscheinlichkeiten für Kakao, Erdebeermilch und Vanillemilch verschieden ist.
Leichter ist die folgende Herangehensweise: Für ein Kind ist die Wahrscheinlichkeit, keine Vanillie zu trinken, 0,85 = 1-0,15. Für zwei Kinder entwprechend 0,85 * 0,85 (Unabhängigkeit der Wahl des Getränks. Entsprechend für 20 Kinder.
Nun musst Du noch die Wahrscheinlichkeit betrachten, dass genau ein Kind Vanillemilch trinkt. Dazu betrachtest Du jedes Kind separat. Wenn Du das erste anschaust, dann wählt das Kind Vanille (Wahrscheinlichkeit 0,15), die ander 19 keine Vanielle (vgl. oben). Nun hast Du 20 Kinder, die Du insgesamt betrachten kannst.

b.) Ermitteln Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit mindestens
zwei der 20 Kinder an diesem Tag Vanillemilch waehlen.
b, wird dann wohl 1-die Wahrscheinlichkeit aus a sein.

Ja

c.) Ermitteln Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit höchstens
zwei der 20 Kinder Vanillemilch waehlen"

Das läuft ähnlich wie bei a). Anstatt ein Kind zu betrachten musst Du jeweils zwei Kinder betrachten, die Vanille trinken. Dazu ist die Wahrscheinlichkeit 0,15 * 0,15 * Wahrscheinlichkeit, dass die anderen 18 Kinder keine Vanille wählen. Nun musst Du nur noch zählen, wie viele Möglichkeiten Du hast, um zwei verschiedene Kinder aus den 20 zu wählen (und die Antwort ist weder 20 * 20 noch 20 * 19, denke an das Ziehen von Kugeln aus einer Urne).

Hinweis: Bei den Lösungen wird genutzt, dass die verschiedenen Fälle disjunkt sind.

Gruß
Diether

[Martin]

Hallo,

Du wirst meine Antwort ungewöhnlich finden, aber ich glaube, sie wird Dir trotzdem nutzen. Deine Überlegungen zu b) und c) sind richtig. Du musst nur a) knacken.

Sei p = P(v) = 0.15 und q = 1 – p.

Dann sind die Wahrscheinlichkeiten für die jeweils angegebenen Konfigurationen so groß:

Anja V, alle anderen Kinder irgendwas (V oder keine V):
p

Anja und Bernd V, alle anderen Kinder irgendwas:
p²

Anja und Bernd keine V, alle anderen Kinder irgendwas:
q²

Anja V, Bernd keine V, alle anderen Kinder irgendwas:
p q

Die acht größten Kinder V, alle anderen irgendwas:
p⁸

Die acht größten Kinder keine V, alle anderen irgendwas:
q⁸

Die sechs größten Kinder V, die drei kleinsten keine V, alle anderen irgendwas:
p⁶ q³

Die drei kleinsten Kinder V, alle anderen keine V:
p³ q¹⁷

Alle Kinder V:
p²⁰

Alle Kinder keine V:
q²⁰

Genau ein Kind V:
20 p q¹⁹

Genau ein Kind keine V:
20 q p¹⁹

Genau sechs Kinder V, alle anderen keine V:
38760 p⁶ q¹⁴

Genau vierzehn Kinder V, alle anderen keine V:
38760 p¹⁴ q⁶

Genau k Kinder V, alle anderen keine V:

{20 \choose k} p^k q^{20-k}

Wenn irgendwas unklar ist, frag nach. Andernfalls hast Du mit Deiner Aufgabe kein Problem mehr

Gruß
Martin

[Walter_1eddeb]

Zuerst die drei Wktn. berechnen:
Es sei X=Anzahl der Kinder, die Vanille wählen.
P(X=0)=0,85^20
P(X=1)= (20 über 1)*0,15^1 * 0,85^19 = 2*0,15*…=…
P(X=2)= (20 über 2)*0,15^2 * 0,85^18 = …

Dann die Aufgaben lösen:
Zu a): P(X=2) = 1 - ( P(X=0) + P(X=1) ) =…
Zu c): P(X