Varianz von X, Varianz von M(X)
Hallo Christian!
Also Dein Problem lautet:
wann verwende ich für die Varianz einer Stichprobe die
Formel
(1) sigma^2 des Stichprobenmittels = sigma^2/n
(2) Und wann: s^2 = 1((n-1)* Summe (x_i-x_quer)^2 ???
zu (1) Einigen wir uns am besten erstmal darauf, daß Sigma die Populationsstreuung meint und nicht die Stichprobenstreuung. Du meinst aber die Stichprobenstreuung und die nenne ich jetzt mal s (korrigierte Streuung natürlich).
Dann ist s(M) = s/Wurzel(n).
Also wir haben die Streuung des Mittelwertes und die ist gleich der korrigierten Stichprobenstreuung dividiert durch die Wurzel der Stichprobengröße n.
zu (2) Da hast Du die Definition der korrigierten Stichprobenvarianz genannt. Die korrigierte Stichprobenvarianz ist ein erwartungstreuer Schätzer der Populationsvarianz Sigma Quadrat.
Letzteres dient doch dazu, die Varianz der Grundgesamtheit aus
eine Stichprobe mit dem Umfang n abzuschätzen, oder?
Genau. (2) hat diese Funktion.
Das verträgt sich doch aber eigentlich nicht mit dem ersten
Fall, oder?
Doch. (1) ist nämlich nicht der erwartungstreue Schätzer der Populationsvarianz, sondern der erwartungstreue Schätzer der Populationsvarianz des Mittelwertes. Mittelwerte weisen ebenfalls wie die dazugehörige Zufallsvariable eine Verteilung auf, so daß die dazugehörige Verteilung der Mittelwerte eine Varianz V(M) oder Sigma Quadrat von M besitzt. Eine erwartungstreue Schätzung von V(M) ist nun (1).
Vor allen Dingen brauch ich den ersten Fall später wieder zur
Normierung von X zur N(0;1)-Verteilung, und ich weiss nicht,
wieso…?!
(1) benötigst Du z.B., wenn Du Hypothesen über den Erwartungswert einer Population hast. Wenn die zugrundeliegende Zufallsvariable X normalverteilt ist mit N(E(X), V(X)), dann sind die Mittelwerte von X ebenfalls normalverteilt, aber mit den Parametern E(M) und V(M). E(M) ist aber nichts anderes als E(X), so daß alles klar ist. Nur V(M) macht (vorerst) Sorgen. V(M) ist aber V(X) (Sigma Quadrat von X) dividiert durch n, die Stichprobengröße:
V(M) = V(X)/n.
(1) ist nun - wie oben ausgeführt - der erwartungstreue Schätzer dieser Populationsvarianz der Mittelwerte, so daß V(M) über (1) geschätzt werden kann.
Somit ergibt sich die Verteilung der Stichprobenmittelwerte zu: M ~ N(E(X), V(X)/n). Und daraus läßt sich bei unbekannter Populationsvarianz der t-Test für den Einstichprobenfall basteln.
Ich hoffe, daß ich Dir ein wenig behilflich sein konnte. Wenn Du weitere Fragen hast, dann kannst Du Dich gern wieder melden.
Grüße,
Oliver
