Ich benötige Hilfe bei folgender Fragestellung:
Ich habe 10.000 schwarze Kugeln in einem Behälter. Es werden 9990 Kugeln gezogen, gegen weiße Kugeln ersetzt und zurückgelegt.
Jetzt werden wieder 9990 Kugeln gezogen.
Wie hoch ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei den 10 verbliebenen Kugeln eine oder mehr schwarze Kugeln vorhanden sind?
Sehr hilfreich wäre nicht nur das Ergebnis, sondern auch die Lösungsformel.
Hintergrund ist eine Problemstellung aus der Filtertechnik. Ich habe einen Filter mit 99,9 % Abscheidegrad. Wie hoch ist der effektive
Abscheidegrad, wenn ich das Medium 2 mal (oder auch öfter) durch den Filter schicke.
nach dem ersten schritt hast du p=10/10000 = 1/1000 W’keitz, eine weiße Kugel zu ziehen. Die gesuchte W’keit nach dem 2. Schritt ist dann
P(von den restlichen 10 ist min. 1 schwarz)
= 1-P(von den restlichen sind alle weiß)
= 1-P(genau 10 von den 9990 gezogenen sind schwarz),
wobei sich die letzte W’keit über eine hypergeometrische Verteilung errechnen lässt.
Hi JPL,
ich kann Dir nicht ganz folgen. Nach dem ersten Schritt (ich denke Du meinst wenn die Kugeln getauscht und zurückgelegt wurden) ist die Wahrscheinlichkeit eine schwarze zu ziehen 1/1000 oder? Nicht eine weisse.
Dem Rest blicke ich nicht mehr. Vor allem was heisst hypergeometrisch?
Gruß Dominic
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Hi JPL,
ich kann Dir nicht ganz folgen. Nach dem ersten Schritt (ich
denke Du meinst wenn die Kugeln getauscht und zurückgelegt
wurden) ist die Wahrscheinlichkeit eine schwarze zu ziehen
1/1000 oder? Nicht eine weisse.
Stimmt, sorry.
Dem Rest blicke ich nicht mehr. Vor allem was heisst
hypergeometrisch?
Ähm, wieviel Ahnung hast du von Stochastik / Wahrscheinlichkeitsrechnung?
Eines der grundlegenden Prinzipien ist (vereinafcht) folgendes: Wenn Ergnis A mit einer W’keit von p auftritt, dann ist die W’keit für das Gegeneriegnis („Komplement von A“ Ac) 1-P(A). Oft ist es einfacher, statt P(A) P(Ac) zu berechnen, so auch in deinem Fall.
Hypergeometrisch heisst eine Verteilung, die auf deine Frage passt, und mit der man die W’keit alle schwarzen Kugeln unter den 9990 gezogenen zu haben, berechnen kann. Damit müsstest du dich vertraut machen.
Grüße,
JPL
Hintergrund ist eine Problemstellung aus der Filtertechnik.
Ich habe einen Filter mit 99,9 % Abscheidegrad. Wie hoch ist
der effektive
Abscheidegrad, wenn ich das Medium 2 mal (oder auch öfter)
durch den Filter schicke.
Mit Wahrscheinlichkeiten und Kugeln zu operieren ist hier ja wohl masslos übertrieben.
Im ersten Filterdurchgang fallen 999 von 1000 raus, im zweiten wieder 999 von 1000.
Also:
1-(0,001)^2 entspricht 999.999 von 1.000.000 raus.
Im ersten Filterdurchgang fallen 999 von 1000 raus, im zweiten
wieder 999 von 1000.
Also:
1-(0,001)^2 entspricht 999.999 von 1.000.000 raus.
Gruss,
TR
Hmm, ist es dann richtig zu folgern, dass bei dreimaligem Filtern quasi alles sauber ist, ja?
Denn so einfach ist es eben nicht, denn immerhin kann das eine „Kügelchen“ mit dieser winzigen Wahrscheinlicht doch sehr viel Schaden anrichten!
Ob das Modell mit den Kugeln eine brauchbare Beschreibung der realen Filterung ist, kann ich schlecht beurteilen, habe aber meine Zweifel.
(Ich würde annehmen, dass ein Teilchen, dass einen Filter einmal erfolgreich passiert hat, möglicherweise ‚kleiner‘ oder ‚glatter‘ ist, als die meisten anderen, und deshalb die Wahrscheinlichkeit, dass es nochmal ‚durchglitscht‘ nicht der der ersten Filterung entspricht).
Aber zurück zum Modell.
Wenn man (nach der ersten Filterung) 9990 weisse und 10 schwarze Kugeln in einer ‚Urne‘ hat, und eine Kugel daraus zieht, ist die Wahrscheinlichkeit für eine weisse offenbar
p1=9990/10000.
Hinterher sind nur noch 9999 Kugeln (9989 davon weiss) da, damit verändert sich die Wahrscheinlichkeit für ‚noch eine weisse‘ Kugel auf
9989/9999.
Also für 2 weisse Kugeln:
p2=9990/10000 * 9989/9999
und für 10 weisse dann:
p10=(9990*9989*9987*9986*…*9981)/(10000*9999*9998*…*9991)
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine oder mehrere schwarze dabei sind, dann 1-p10
Das ist (für das Urnenmodell) die exakte Berechnung.
Praktisch ändert sich die Wahrscheinlichkeit aber bei den einzelnen Ziehungen so wenig, dass es wohl Sinn macht, jeder Ziehung die gleiche Wahrscheinlichkeit zuzuordnen.
Also p_r=999/1000 für eine schwarze Kugel,
und p_r^10 für 10 schwarze.
Ausmultipliziert gibt das dann
p_r^10=0.9900449…
ziemlich genau 99%.
Die Gegenwahrscheinlichkeit ist dann entsprechend
1-p_r^10
also ein winziges bischen kleiner als 1%
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