Produkt abschätzen

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,
wie schätzt man denn das folgende Produkt im Intervall [0,1] nach oben ab?

\prod_{i=0}^{n} (x - x_i) \text{ wobei } x_i=0+\frac{i}{n}

Soweit ich weiß, ist das Produkt symmetrisch um den Mittelpunkt 0,5 und wird das Maximum etwa in der Mitte der Randintervalle erreichen. Eine pessimistische und vermutlich nicht ganz richtige Folgerung wäre:

x \approx 1/2n \Rightarrow
\prod_{i=0}^{n} (x - x_i)

Fällt jemanden ein eleganteren Weg ein? Dass man natürlich das Polynom ableiten und gleich 0 setzen könnte, ist mir bekannt. Jedoch ist dies bei großen Polynomen recht umständlich und es soll ja nur eine Abschätzung sein.

Danke für eure Hilfe
André

#2

Hi,

nx liegt zwischen einem m und m+1. Damit kannst Du dann die Faktoren vorher, die zwei direkt anliegenden Faktoren und die Faktoren dahinter abschätzen:

|x-i/n| m+1

Zusammenfassen, vielleicht noch einen Binomialkoeffizienten draus bauen,…

Gruß Lutz

#3

Hallo Andre.

Setzt man

p_n(x) \doteq \prod_{i=0}^{n} \left(x - \frac{i}{n}\right)

so folgt

p_n(\frac{1}{2n}) =
\frac{-(2n+1)!!}{(-2n)^{n+1}}

Das ist vielleicht als Schätzwert gut, aber definitiv keine obere Schranke für die Polynome.

Wenn Du nur eine solche suchst, dann nimm doch z. B. 0.05. Ein Plot der ersten Polynome läßt vermuten, dass für alle n und alle x in [0;1] p_n(x)

#4

Hallo,

es ist leider schon spät und ich bin müde, darum werd ich mir den Weg zum Ergebnis sparen (falls es interessiert liefer ich das natürlich gerne nach). Für ungerades n wird das Produkt bei x = 1/2 extremal, der exakte Wert an dieser Stelle beträgt dann:

p_n \left(\frac{1}{2} \right) = -\left(\frac{1}{n} \right)^{n-1} \sin \left(\frac{n \pi}{2} \right) \left( \frac{(n-1)!}{2^n (\frac{n-1}{2})!} \right)^2

Bei gerdadem n stellt sich die Sache um einiges komplizierter dar, aber ich denke es ist ziemlich sicher zu sagen, dass die „Amplitude“ mit n monoton fällt. Von daher kann man mit der Formel auch da eine gute Abschätzgung machen.

LG und gute Nacht.

#5

Sorry, meinte den Betrag der Funktion

\left|\prod_{i=0}^{n} (x - x_i)\right| \text{ wobei } x_i=0+\frac{i}{n}

#6

Mit n=1 ist für (x-1) (x-0) das Produkt sicherlich an der Stelle 1/2 maximal.

Mit n=2 ist für (x-1)(x-0.5)(x-0) = x³ - 1.5 x² + 0.5 x die Nullstelle bei

x_{12}=\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{6}

Mit n=3 ist für
p(x)=(x-1)(x-\frac{2}{3})(x-\frac{1}{3})(x-0) = x^4 - 2 x^3 + \frac{11}{9}x^2 - \frac{2}{9} x
lässt sich die Nullstelle der Ableitung schon nicht mehr wirklich leicht berechnen. Der Funktionswert an der Stelle 0.5 liegt bei 1/144 = 7 E-3. An der Stelle 0.13 aber 1,2 E-2 - also deutlich höher.

Aber auch bei höheren Ordnungen sieht man immer mehr, dass die Schwankungen am Rand stärker ausufern als in der Mitte. Also stimmt dein Ansatz leider definitiv nicht.

Trotzdem vielen Dank für die Hilfe.

Gruß André

#7

Hallo,
ich bräuchte wenn dann schon für jedes n diese obere Schranke Vielleicht wäre es gut die Ortskurve der Maximas zu finden. Könnte sogar gut eine einfache quadratische oder exponentiale Funktion sein.

Dank dir trotzdem.

Gruß André

#8

Ich hab gedacht, wenn ich ausgeschlafen bin, verstehe ich dich besser. Aber jetzt versteh ich immer noch nicht so recht deinen Ansatz bzw. worauf du hinaus willst.

#9

Gemeint war,

dass eine Abschätzung zu der Schranke

\frac{
(m+1)!\cdot\frac14\cdot(n-m)!
}{
n^{n+1}
}

\frac14\cdot\binom{n+1}{m+1}^{-1}\cdot\frac{(n+1)!}{n^{n+1}}

entsteht, wobei m=[x] das größte Ganze von x ist. Der Binomialkoeffizient ist immer eine natürliche Zahl, also dessen Kehrwert immer kleinergleich 1, woraus man eine von m und damit von x unabhängige Schranke erhält.

Gruß Lutz