Wo finde ich eigentlich die Produkt-Seriennummer bei Asus Notebooks.
Oder ist das der Produkt-Key?
Nein, der Produkt-Key auf dem Windows-Aufkleber ist auch nur für das Betriebssystem gedacht.
Eventuell steht die Seriennummer auf dem Typenschild, muss aber nicht. Dann kannst du sie sicher im BIOS ablesen - beim Systemstart kommt man da meist mit F1, F2 oder Entf rein - müsstest du mal schauen, welche Taste bei deinem Modell dafür zuständig ist. 
Eventuell kann auch Everest Home Edition die Seriennummer aus dem BIOS auslesen, die steht bei meinem IBM dann im Motherboard-Menüpunkt.