Moin,
ich würde gerne einen beliebigen Vektor innerhalb des Einheitswürfel im R3 auf die Würfel-Diagonale projizieren.
Kann mir jemand sagen, wie ich das rechnerisch lösen kann?
Ich hab auch noch eine Zeichnung, die verdeutlicht, was ich genau vorhabe. Sie ist zu finden unter:
http://edv.cs.tu-berlin.de/~noway/projektion/Transfo…
Mein Ziel ist es, eine eindeutige Rangfolge auf der Diagonale darstellen zu können.
thx
moe.
Projektionsvektor
Hallo und ein gutes neues Jahr,
ich würde gerne einen beliebigen Vektor innerhalb des
Einheitswürfel im R3 auf die Würfel-Diagonale projizieren.Kann mir jemand sagen, wie ich das rechnerisch lösen kann?
wenn Du einen Vektor x auf einen Vektor a projizierst, dann gilt für den Projektionsvektor x’ :
(1) x’ ist richtungsgleich mit a ,
(2) x’ ist x cos(α) lang (α = Winkel zwischen x und a ).
Also läßt sich x’ so darstellen:
x’ = x cos(α) e a
Mit cos(α) = a · x /(a x) und e a = a /a folgt:
a · x
x’ = ------- a
a²
Für Dein Vorhaben mußt Du a = (1, 1, 1) setzen.
Gruß
Martin
Gleichfalls gutes Neues !
ich würde gerne einen beliebigen Vektor innerhalb des
Einheitswürfel im R3 auf die Würfel-Diagonale projizieren.Kann mir jemand sagen, wie ich das rechnerisch lösen kann?
Hallo und ein gutes neues Jahr,
Wenn Du einen Vektor x> auf einen Vektor a> projizierst,
dann gilt für den Projektionsvektor x’>:(1) x’> ist richtungsgleich mit a>,
(2) x’> ist x cos α lang (α = Winkel zwischen
x> und a>:wink:.Also läßt sich x’> so darstellen:
x’> = x cos α ea>
Mit cos α = a> · x> /(a x) und
ea> = a>/a folgt:a> · x>
x’> = ------------ a>
a²Für Dein Vorhaben mußt Du a> = (1, 1, 1) setzen.
ich habe etwas Schwierigkeiten mit der Darstellung hier bei www: Habe ich richtig verstanden, dass ich das Skalarpodukt aus „zu projizierendem Vektor“ und „Diagonalen-Vektor (1,1,1)“ teilen muss durch den „Betrag des Diagonalen-Vektors (3^(1/2))“ ?
Kann ich das Verfahren dann auch für beliebige Kantenlängen des Würfels anwenden ?
thx
moe.
Zusatzfrage zu Projektion im Einheitswürfel ?
Kann es sein, dass ich genau die selben Ergebnisse bekomme (identische kardinale Rangreihe), wenn ich statt der Projektion eine Rangreihung der Volumina vornehme (Produkte aus den Einzelkomponenten des jeweiligen Vektors) ?
thx
moe.
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a> · x>
x’> = ------------ a>
a²Für Dein Vorhaben mußt Du a> = (1, 1, 1) setzen.
ich habe etwas Schwierigkeiten mit der Darstellung hier bei
www: Habe ich richtig verstanden, dass ich das Skalarpodukt
aus „zu projizierendem Vektor“ und „Diagonalen-Vektor (1,1,1)“
teilen muss durch den „Betrag des Diagonalen-Vektors
(3^(1/2))“ ?
…durch den Betrag des Diagonalen-Vektors zum Quadrat. Das Betragsquadrat des Vektors (1, 1, 1) ist gleich 3.
Kann ich das Verfahren dann auch für beliebige Kantenlängen
des Würfels anwenden ?
Ja, aber Du erhälst natürlich immer dasselbe x’>, egal ob Du x> auf (1, 1, 1) oder auf (2, 2, 2) oder auf (0.13, 0.13, 0.13) oder auf (789, 789, 789) projizierst.
stimmt… ich meinte eigentlich, bei Veränderung einzelner Kantenlängen (also dann kein Würfel mehr).
thx
moe.
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bei Veränderung einzelner Kantenlängen (also dann kein Würfel mehr).
Wenn Du einen beliebigen Vektor x auf einen beliebigen (*) Vektor a projizierst, dann ist der Projektionsvektor x’ gegeben durch
a · x
x’ = ------------ a
a²
Bei der Ableitung dieser Beziehung wurde schließlich an keiner Stelle vorausgesetzt, daß a irgendwie mit irgendeiner Würfeldiagonale zusammenhängen muss. Also: Sie gilt ganz allgemein.
(*) einzige Einschränkung: a darf nicht der Nullvektor sein
Gruß
Martin
Kann es sein, dass ich genau die selben Ergebnisse bekomme
(identische kardinale Rangreihe), wenn ich statt der
Projektion eine Rangreihung der Volumina vornehme (Produkte
aus den Einzelkomponenten des jeweiligen Vektors) ?
Kann sein, aber dann ist es Zufall. Du kannst Dir leicht überlegen, dass es Vektoren gibt, bei denen eine Komponente gleich Null ist. Das zugehörige Quadervolumen verschwindet dann ebenfalls – der zugehörige Projektionsvektor kann jedoch problemlos eine ordentliche, endlich große Länge haben. Tip: Betrachte den 2D-Fall (Flächen statt Volumina, Quadrat statt Würfel) und kritzel mal ein bisschen auf einen Schmierzettel herum; dann sollte es Dir sofort klar werden.
Nun gut, wenn man von den Fällen absieht, in denen eine Komponente und somit das Volumen null ist . . . .
Ich habe fesgestellt, dass die ordinale Anordnung dieselbe wäre, kardinal jedoch Verschiebungen auftreten. Ist jemand in der Lage diesbezüglich etwas systematischere Aussagen zu machen, wie die beiden Ergebnisse zusammenhängen ?
thx
moe.
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Vielen Dank ! (no text)
.
