Hiho,
Ich hab nen Problem mit der 3ten Aufgabe diese Übungsblattes hier:
http://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/pdf/blatt8…
Wie muss ich denn da überhaupt ansetzen? Mir wäre vielleicht schon geholfen, wenn jemand die Frage beantworten könnte, warum eine lineare Abbildung f: V->V „Projektion“ genannt wird, wenn
f(f(x))=f(x) für alle x Element V gilt.
Kann mir jemand helfen?
Gruss,
Timo
Hiho,
Ich hab nen Problem mit der 3ten Aufgabe diese Übungsblattes
hier:http://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/pdf/blatt8…
Wie muss ich denn da überhaupt ansetzen? Mir wäre vielleicht
schon geholfen, wenn jemand die Frage beantworten könnte,
warum eine lineare Abbildung f: V->V „Projektion“ genannt
wird, wenn
f(f(x))=f(x) für alle x Element V gilt.
Kann mir jemand helfen?
Na, weil obengenannte Eigenschaft charakteristisch für eine Projektion im engeren Sinn ist: du projizierst auf einen Unterraum, und eine weitere Projektion ändert nichts weiter.
Oli
Gruss,
Timo
Na, weil obengenannte Eigenschaft charakteristisch für eine
Projektion im engeren Sinn ist: du projizierst auf einen
Unterraum, und eine weitere Projektion ändert nichts weiter.Oli
Okay, ich glaube das habe ich jetzt verstanden. Wenn ich zum Beispiel einen Spiegel habe und das Bild im Spiegel auf einem zweiten Spiegel nochmal abspiegle. Dann ist alles was in dem Spiegelbild des ersten Spiegels ist auch im zweiten Spiegelbild zu sehen.(Die Orientierung im Spiegel sei mal vernachlässigt. Es kommt einzig und allein darauf an was zu sehen ist). Es kann nichts weg- oder dazukommen.
Aber irgendwie sehe ich nicht, wie mir das helfen beim Lösen der Aufgabe helfen kann.
Wie impliziert ||f(x)||
Hallo Timo,
auf dem 7. Aufgabenblatt stehen ein paar hilfreiche Sachen zur Projektion, wenn sie orthogonal ist.
Zeige zunächst, daß
Norm( \pi(x) )^2 + Norm ( x - \pi(x) )^2 = Norm(x)^2
ist. Norm(x) ist Wurzel( ).
Stefan
Hallo Timo,
Okay, ich glaube das habe ich jetzt verstanden. Wenn ich zum
Beispiel einen Spiegel habe und das Bild im Spiegel auf einem
zweiten Spiegel nochmal abspiegle. Dann ist alles was in dem
Spiegelbild des ersten Spiegels ist auch im zweiten
Spiegelbild zu sehen.(Die Orientierung im Spiegel sei mal
vernachlässigt. Es kommt einzig und allein darauf an was zu
sehen ist). Es kann nichts weg- oder dazukommen.
das ist völliger Käse, und Du hast noch garnichts verstanden. (*)
Irgendein Künstler hat in einem Modern-Art-Museum vier kleine Stahlkugeln an dünnen Fäden an der Decke eines Raumes aufgehängt. Durch das Fenster des Raumes scheint die Sonne, und auf der gegenüberliegenden glatten Wand siehst Du den Schatten der vier Stahlkugeln. Das ist eine Projektion!
Im einzelnen:
– Die vier xi (i = 1…4) sind die Ortsvektoren der Kugeln,
– f ist die Sonnenlicht-Projektionsfunktion,
– die vier f(xi) sind die Ortsvektoren der Schatten, und
– die Oberfläche der Wand bildet den 2D-Unterraum, auf den die vier 3D-Raumpunkte xi projiziert werden.
Was hat es jetzt aber mit der „f o f = f“-Eigenschaft von Projektionen auf sich? Nun, wenn Du aus Deiner Hosentasche weitere vier Stahlkugeln nimmst und diese mit Sekundenkleber dort auf die Wand klebst, wo die vier Schattenflecken sind, dann sind die Schattenflecken, den diese neuen Kugeln werfen (= f(f(xi)), klar?), „witzloserweise“ identisch mit denjenigen der alten Kugeln, d. h. identisch mit f(xi). In Wahrheit ist die Identität f(f(xi)) = f(xi) jedoch gar nicht so „witzlos“, sondern stellt sich gerade als charakteristische Eigenschaft aller Projektionen heraus. Das ist der Grund für die Definition „Eine Abbildung f wird Projektion genannt, wenn f o f = f“.
Nicht böse sein wegen (*) bitte; war nicht persönlich gemeint, und ich hoffe, meine Erklärung hat Dich dafür entschädigt 
.
Mit freundlichem Gruß
Martin