Das, was ich geschrieben habe, stimmt. 
Das Urteil stellt die Hauptforderung nebst Zinsen gegen Dich fest. Es ist auch (ohne Rücksicht auf Rechtsmittel) zumindest vorläufig vollstreckbar.
Insofern kann die Gegenseite, sobald sie das Urteil in Händen hat (sogar schon ab Verkündung) die Zwangsvollstreckung gegen Dich betreiben - ohne weiteres: Es ist kein weiteres Verfahren mehr nötig, es wird direkt der Gerichtsvollzieher beauftragt oder ein Pfänungs- und Überweisungsbeschluss erwirkt. Die Gegenseite muss Dich nicht vorher informieren und Dir auch keine Rechnung oder Kostennote stellen. Es obliegt Dir, Dir auszurechnen, was Du laut Urteil schuldest. Das muß die Gegenseite nicht für Dich tun. Wenn Du das nicht allein ermitteln kannst, musst Du jemanden fragen, der das kann, ggf. einen Rechtsanwalt.
Ernst hat insoweit recht, als die Gegenseite regelmäßig die Rechtskraft abwarten wird. Sie könnte zwar vorher vollstrecken, setzt sich dann aber einem Risiko aus, wenn das Urteil später zu ihren Lasten geändert wird.
In DIESEM Fall aber hat der Richter Dich zutreffend darauf hingewiesen (obwohl er das nicht tun musste), dass kein Rechtsmittel zulässig ist. Deshalb hat die Gegenseite hier keinen zwingenden Grund zu warten. Dass sie es doch tut, kann verschiedene Anlässe haben, über die sich zu spekulieren nicht lohnt.
Ernst hat auch recht, dass Du keine Angst vor einem Mahnbescheid haben musst. Das hilft Dir aber nicht, weil die Gegenseite für die Zwangsvollstreckung außer dem Urteil, das sie hat, nichts mehr braucht.
Das alles gilt, um es zu wiederholen, für die ausgeurteilte Forderung. Für die gegnerischen KOSTEN ist es anders: Diesbezüglich kannst Du in der Tat die Kostennote bzw. letztlich den Kostenfestsetzungsbeschluss des Gerichts abwarten, ohne vorher mit einer Zwangsvollstreckung rechnen zu müssen.
Fazit: siehe mein vorangegangener Beitrag. Das Urteil IST die ultimative Zahlungsaufforderung für die Hauptforderung nebst Zinsen, der Du, wenn Du Dir weitere Kosten ersparen willst, tunlichst von Dir aus nachkommen solltest.