Hallo,
weiß jemand warum ganz allgemein Prüfungsergebnisse niemals normalverteilt sind?
Hat das was damit zu tun, dass es viel einfacher ist, eine schlechte note zu bekommen? Oder dass die Anzahl an Punkten oder Noten (hier wären es in der Regel nur 6 Klassen) viel zu gering ist, als das man von einer Normalverteilung sprechen kann?
Vielen Dank
Tim
Hi,
beide von dir genannten Gründe sind es eher nicht. Viel mehr sind Noten nicht stetig, wohingegen eine Normalverteilung eine ebensolche Verteilung beschreibt.
Grüße,
JPL
Hi,
kann die fehlende Stetigkeit wirklich der Grund sein? Die Binominalverteilung ist auch nicht stetig und konvergiert trotzdem gegen die Normalverteilung.
Hi,
naja, sagen wir mal, dass man ab gewissen Bedigungen eine sehr gute Approximation mit einer Normalverteilung bekommt. Binomila sind die daten ja trotzdem noch. Dasselbe hast du mit den Schulnoten auch.
Grüße,
JPL
Hi,
genau das meine ich. Wenn sich mit der Normalverteilung die (diskrete) Binominalverteilung approximieren lässt, müssten sich auch die Schulnoten mit der Normalverteilung approximieren lassen, was aber nicht der Fall zu sein scheint.
Also kann die fehlende Stetigkeit der Datenbasis nicht die Ursache dafür sein, dass die Verteilung der Schulnoten keine Ähnlichkeit mit der Normalverteilung aufweist.
Aber bei einer Normalverteilung geht die Anzahl der Ereignisse gegen Unendlich, deshalb muss man ja auch von - Undendlich nach + Unendlich summieren, damit man auf 1 kommt.
Bei Schulnoten hat man ja nur 6 Ereignisse, hat also links von der 1 und rechts von der 6 ein ganz schönes Stück an Fläche unter der Normalverteilung, wo keine Bedeutung mehr hat und gleich 0 sein müsste, ist es aber nicht.
Also es ist schon plausibel, denke ich
Aber bei einer Normalverteilung geht die Anzahl der
Ereignisse gegen Unendlich, deshalb muss man ja auch von -
Undendlich nach + Unendlich summieren, damit man auf 1 kommt.
Das ist nur kein Argument gegen meine Aussage. Bei den Noten summiere ich halt die Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten von 1 bis 6 und komme auch auf 1.
Bei Schulnoten hat man ja nur 6 Ereignisse, hat also links
von der 1 und rechts von der 6 ein ganz schönes Stück an
Fläche unter der Normalverteilung, wo keine Bedeutung mehr hat
und gleich 0 sein müsste, ist es aber nicht.
Ob die Normalverteilung einen Mittelwert (Erwartungswert) von 0 hat oder dieser bei 3,5 liegt ((1+2+3+4+5+6)/6) ist für die Verteilung unerheblich. Die Verteilung beschreib nur das Auftreten von Abweichungen um den Mittelwert.
Also es ist schon plausibel, denke ich
Ich finde es nach wie vor nicht plausibel und sehe meine Argumentation nicht widerlegt.
Hallo,
nachdem m. E. die fehlende Stetigkeit nicht der Grund ist, schlage ich mal eine Lösung für die Ursprungsfrage vor:
Zunächst einmal sind die Intervalle, der Noten nicht gleich groß:
Richtig gelöst in % = Note
50 = 6
60 = 5
70 = 4
80 = 3
90 = 2
100 = 1
Für der Bereich 100-91 (9%) liefert die Note 1, der Bereich 91-81 (10%) liefert die Note 2 uws.
Wenn überhaupt könnte man eine Normalverteilung auf dem Anteil der Richtig gelösten Aufgaben finden.
Allerdings dürfte auch hier keine Normalverteilung zu finden sein. Um wirklich Null Punkte zu bekommen, müsste man schon selten blöd sein (dann wäre man aber vermutlich nicht soweit gekommen, dass man die Prüfung überhaupt schreiben darf/muss) oder man schreibt vorsätzlich nichts richtiges hin. Da ist die Wahrscheinlichkeit eine 1 zu bekommen schon höher.
Wenn man sich dieser Überlegung anschließt hätte man eine schiefe Verteilung, was nun mal der Symmetrie der Normalverteilung entgegensteht.
Hi,
genau das meine ich. Wenn sich mit der Normalverteilung die
(diskrete) Binominalverteilung approximieren lässt, müssten
sich auch die Schulnoten mit der Normalverteilung
approximieren lassen, was aber nicht der Fall zu sein scheint.
Approxi klappt nicht ist nicht dasselbe wie: Schulnten sind nciht normalverteilt.
Das zweite ist: die Schulnoten haben eine Verteilung S und es ist S nicht N(µ,sd).
Das erste ist: für hinreichend großes n (bzw. n–>oo) ist P(S-x) = F(x) mit F als Verteilungsfunktion von N(µ,sd).
Für z.B. Binomi ist das beides erfüllt.
Für eine Poi aber z.b. nur für große lambda.
Allgemeiner kann man festhalten, dass, je unstetiger und schiefer eine Verteilung und je kleiner das n der Stichprobe ist, desto schelchter lässt sich das Ganze durch eine Normalverteilung approximieren. Wenn zusätzlich keine eingipflige Verteilung vorliegt, wird es noch viel schwieriger.
Was jetzt alles auf deine Daten zutrifft, lässt sich aus deinen Angaben nicht entnehmen.
Grüße,
JPL
Allgemeiner kann man festhalten, dass, je unstetiger und
schiefer eine Verteilung und je kleiner das n der Stichprobe
ist, desto schelchter lässt sich das Ganze durch eine
Normalverteilung approximieren. Wenn zusätzlich keine
eingipflige Verteilung vorliegt, wird es noch viel
schwieriger.
Das würde bedeuten, dass bei entsprechend großem Stichprobenumfang die Verteilung der Noten mit der Normalverteilung zu aproximieren wäre. Was bedeutet, dass nicht die fehlende Stetigkeit sondern die zu geringe Stichprobe die Ursache ist.
Was jetzt alles auf deine Daten zutrifft, lässt sich aus
deinen Angaben nicht entnehmen.
Keine Ahnung, wie die Daten aussehen - sind nicht meine. Ich diskutiere nur mal lustig mit…
Grüße,
JPL
Verwechslung mit ZGWS
Das würde bedeuten, dass bei entsprechend großem
Stichprobenumfang die Verteilung der Noten mit der
Normalverteilung zu aproximieren wäre. Was bedeutet, dass
nicht die fehlende Stetigkeit sondern die zu geringe
Stichprobe die Ursache ist.
Nein. Das hat mit dem Umfang der Stichprobe nichts zu tun. Eine Nicht-Normalverteilung wird nicht „normaler“, wenn N größer wird (nicht verwechseln mit dem Zentralen Grenzwertsatz (ZGWS)!).
Und mit der Stetigkeit gilt hier auch nur: je feiner die Einteilung, desto geringer der Unterschied zu einer stetigen Verteilung (das ist aber trivial). Wieder NICHT verwechseln mit dem ZGWS! Bei den Noten ist die Einteilung vorgegeben (1, 2, … 5, 6). Große Stichproben ändern nichts daran!
Notenverteilungen sind sicher nicht symmetrisch (d.h., sie sind „schief“). Bei „leichten Fächern“ gibt es „zu viele“ gute Noten, hier wären bei Symmetrie dann auch nennenswerte Mengen negativer Noten (Note 0, -1, -2 usw) zu erwarten, was aber offensichtlich quatsch ist. Bei „schweren Fächern“ ist es umgekehrt.
VG
Jochen
Hi,
Nein. Das hat mit dem Umfang der Stichprobe nichts zu tun.
Eine Nicht-Normalverteilung wird nicht „normaler“, wenn N
größer wird (nicht verwechseln mit dem Zentralen Grenzwertsatz
(ZGWS)!)
Ne, hab ich nicht verwechselt, mich aber undeutlich ausgedrück. Hatte das unter der Voraussetzung geschrieben, dass die Daten normalverteilt sind.
Dass die Gesamtheit der Daten normalverteilt ist, dies aber wegen einer zu gringen Stichproble nicht erkennbar ist, die Möglichkeit besteht aber schon.
Und mit der Stetigkeit gilt hier auch nur: je feiner die
Einteilung, desto geringer der Unterschied zu einer stetigen
Verteilung (das ist aber trivial). Wieder NICHT verwechseln
mit dem ZGWS! Bei den Noten ist die Einteilung vorgegeben (1,
2, … 5, 6). Große Stichproben ändern nichts daran!
Dem stimme ich zu: zu Grobe Einteilung ist das Problem. Was ich damit sagen wollte ist nur, dass man bei weniger Unterteilungen einen größenen Stichprobenumfang benötigt, damit eine Normaverteilung erkennbar ist. (Soweit eine vorliegt jedenfalls)
Hi,
Ne, hab ich nicht verwechselt, mich aber undeutlich
ausgedrück. Hatte das unter der Voraussetzung geschrieben,
dass die Daten normalverteilt sind.
Ja. WENN die Daten normalverteilt sind, braucht man schon einen gewissen Stichprobenumfang, damit zufällige Abweichungen in der Stichprobe vernachlässigbar werden und man auch statistisch nachweisen kann, dass die Daten mit einer Normalverteilung verträglich sind.
Dass die Gesamtheit der Daten normalverteilt ist, dies aber
wegen einer zu gringen Stichproble nicht erkennbar ist, die
Möglichkeit besteht aber schon.
Ja, s.o. Allerdings sind Noten prinzipiell nicht normalverteilt, weil diskret. Und die Stufen sind bei weitem zu groß, um vernachlässigbar zu sein.
Und mit der Stetigkeit gilt hier auch nur: je feiner die
Einteilung, desto geringer der Unterschied zu einer stetigen
Verteilung (das ist aber trivial). Wieder NICHT verwechseln
mit dem ZGWS! Bei den Noten ist die Einteilung vorgegeben (1,
2, … 5, 6). Große Stichproben ändern nichts daran!Dem stimme ich zu: zu Grobe Einteilung ist das Problem. Was
ich damit sagen wollte ist nur, dass man bei weniger
Unterteilungen einen größenen Stichprobenumfang benötigt,
damit eine Normaverteilung erkennbar ist. (Soweit eine
vorliegt jedenfalls)
Da liegst du falsch. Eine diskrete Größe ist prinzipiell nie normalverteilt, weil sie diskret ist, und die Normalverteilung eben eine kontinuierliche Verteilung ist.
Lediglich Mittelwerte aus diskreten Größen nähern sich mit steigendem N einer Normalverteilung, weil hier auch die Stufen immmer kleiner werden (aber das wäre der ZGWS).
VG
Jochen
Ok, wir einigen uns daruf, dass diskrete Werte nie normalverteilt sind, weil nicht stetig, aber unter Umständen duch eine Normalverteilung appoximiert werden können.
Und Noten sind nicht normalverteilt und lassen sich auch nicht approximieren.