Prüfungsvorbereitung

Wissenschaft Mathematik
#1

Da ich in 2 Wochen meine Abschlussprüfung Mathematik für mein Fachabi habe, bin ich nun fleißig am lernen. Doch ein Thema ( ich hab wirklich keine Ahnung wie die Bezeichnung dafür ist) hab ich noch nicht ganz drauf.
Die Folgende Aufgabe habe ich von einem Übungsblatt.Evtl. kann mir ja jemand die einzelnen Schritte gut erklären!

Zeigen Sie: Eine zur f(x)-Achsen symmetrische ganz-rationale Funktion zweiten Grades, die durch die Punkte (-2/-5,5); (3/-8) verläuft, hat folgende Funktionsgleichung: g(x)= - 1/2x²-3,5

Vielen Dank im Vorraus

#2

Hi,

das einfachste ist wohl, die x-Koordinaten der Punkte in die Gleichung einzusetzen und zu zeigen, dass die Ergebnisse mit den zugehörigen y-Koordinaten übereinstimmen.

#3

Hallo,

Zeigen Sie: Eine zur f(x)-Achsen symmetrische ganz-rationale
Funktion zweiten Grades, die durch die Punkte (-2/-5,5);
(3/-8) verläuft, hat folgende Funktionsgleichung: g(x)= -
1/2x²-3,5

ich würde wie folgt vorgehen:

  1. Die allgemeine Form einer ganzrationalen Funktion 2. Grades, die symmetrisch zur y-Achse ist, aufstellen.
  2. Die 2 Gleichungen mit zwei Unbekannten, die man erhält, wenn man die gegebenen x/y-Werte in diese Gleichung einsetzt, lösen.
  3. Die Lösungen in die Ausgangsgleichung einsetzen.

Hilft dir das weiter?

Gruß
Pontius

#4

hört sich schon alles schon gut an. Aber diese Zusammenhänge bzw. Bezüge aufeinander fallen mir noch schwer.
Aber danke für die Antworten :smile:

#5

Hossa :smile:

Zeigen Sie: Eine zur f(x)-Achsen symmetrische ganz-rationale
Funktion zweiten Grades, die durch die Punkte (-2/-5,5);
(3/-8) verläuft, hat folgende Funktionsgleichung: g(x)= -
1/2x²-3,5

Hier ist nicht gefordert, die Funktionsgleichung für g(x) herzuleiten. Du kannst die Aufgabe lösen, indem du einfach prüfst, ob sie alle Bedingungen erfüllt.

Eine ganz-rationale Funktion (auch Polynomfunktion genannt) hat nur natürliche Zahlen (einschließlich Null) als Exponenten. Bei einer ganz-rationalen Funktion 2-ten Grades muss der höchtste vorkommende Exponent gleich 2 sein. g(x) erfüllt diese Bedinungen offensichtlich, denn:

g(x)=-\frac{1}{2},x^2-\frac{7}{2},x^0

Also ist g(x) eine ganz-rationale Funktion 2-ten Grades.

Eine Funktion, die zur y-Achse symmetrisch ist, hat links und rechts von der y-Achse die gleichen Funktionswerte. Also muss gelten:

g(-1)=g(1)\quad;\quad g(-2)=g(2)\quad;\quad g(-3)=g(3)\quad\ldots

Oder allgemein ausgedrückt:

g(-x)=g(x)

Wir überprüfen das für g(x):

g(-x)=-\frac{1}{2},(-x)^2-\frac{7}{2}=-\frac{1}{2},x^2-\frac{7}{2}=g(x)

Wegen (-x)²=x² ist die Funktion g(x) also achsensymmetrisch.

Jetzt musst du nur noch die beiden gegebenen Punkte überprüfen, indem du sie einfach nur in die Funktionsgleichung einsetzt:

g(-2)=-\frac{1}{2}\cdot(-2)^2-\frac{7}{2}=-\frac{1}{2}\cdot4-\frac{7}{2}=-\frac{4}{2}-\frac{7}{2}=-\frac{11}{2}=-5.5

g(3)=-\frac{1}{2}\cdot3^2-\frac{7}{2}=-\frac{9}{2}-\frac{7}{2}=-\frac{16}{2}=-8

Die Funktion g(x) erfüllt also alle Forderungen.

Viele Grüße

Hasenfuß

#6

Moin Hasenfuß,

Zeigen Sie: Eine zur f(x)-Achsen symmetrische ganz-rationale
Funktion zweiten Grades, die durch die Punkte (-2/-5,5);
(3/-8) verläuft, hat folgende Funktionsgleichung: g(x)= -
1/2x²-3,5

Hier ist nicht gefordert, die Funktionsgleichung für g(x)
herzuleiten.

woher weißt du, dass nicht die Herleitung gewünscht wird?
Ein Indiz dafür ist doch, dass 2 Wertepaare angegeben wurden.
Außerdem nehme ich an, dass bei einem Fachabitur mehr verlangt wird, als nur 2 Wertepaare in eine Gleichung einzusetzen.

Gruß
Pontius

#7

Ugh.

Zeigen Sie: Eine zur f(x)-Achsen symmetrische ganz-rationale
Funktion zweiten Grades, die durch die Punkte (-2/-5,5);
(3/-8) verläuft, hat folgende Funktionsgleichung: g(x)= -
1/2x²-3,5

Kompletti, mit Herleitung, kannst du das etwa so machen:

  • Ganzrationale Funktion zweiten Grades f(x) = a * x² + b * x + c

  • Symmetrisch zur y-Achse, also f(x) = f(-x), also
    a * x² + b * x + c = a * (-x)² + b * (-x) + c
    2 * b * x = 0 => b = 0 (weil für alle x gültig!)

  • f(x) = a * x² + 0 * x + c f(x) = a * x² + c

Und jetzt kannst du die x- und y-Werte der Punkte einsetzen und erhältst zwei Gleichungen

I. a \* (-2)² + c = -5,5 4 a + c = -5,5
II. a \* 3² + c = -8 9 a + c = -8
I.-II. -5 a = 2,5 a = -0,5

Eingesetzt

-0,5 \* (-2)² + c = -5,5 -2 + c = -5,5 c = -3,5

und damit hast du die Funktionsgleichung aus der Aufgabenstellung. Die Lösung ist eindeutig - weil wir nur Äquivalenzumformungen vorgenommen haben - , die Behauptung stimmt also.

Aga,
CBB