Hallo!
Wer kann mir erklären warum auf der Pseudosphäre die hyperbolische Geometrie gilt?
Viele Grüße
Pseudosphäre und hyperbolische Ebene
Hi
Wer kann mir erklären warum auf der Pseudosphäre die
hyperbolische Geometrie gilt?
Das ist nicht ganz richtig formuliert. Die Pseudosphäre ist jedoch ein flächentheoretisches Modell der hyperbolischen Geometrie im 3-dim euklidischen Raum (E3).
Daß es Flächen im E3 gibt, deren Riemann-Metrik mit der Riemann-Metrik der hyperbolischen Ebene übereinstimmt, wurde von Beltrami (1868) bewiesen.
Beispiele für solche Flächen finden sich am einfachsten unter den Drehflächen. Und unter diesen wieder ist die, deren Meridiankurve die Traktrix ist, das einfachste Beispiel. Die Bezeichnung „Pseudosphäre“ für diese Fläche stammt ebenfalls von Beltrami.
Allerdings hat Hilbert (in: Grundlagen der Geometrie) gezeigt, daß Flächen des E3 niemals die hyperbolische Ebene vollständig überdecken können. So ist es auch mit der Pseudosphäre.
Mit einem Theorem von Gauß (sog. theorema egregium) kann man noch zeigen, daß die Pseudosphäre eine Fläche konstanter negativer (gaußscher) Krümmung ist. Und für alle Flächen des E3 mit konstanter negativer Gauß-Krümmung wird wiederum in der Differentialgeometrie bewiesen, daß ihre Riemann-Metrik mit der Riemann-Metrik (eines Teils) der hyperbolischen Ebene übereinstimmt.
Diese Inhalte findest du aber in jedem anständigen Lehrbuch über hyperbolische Geometrie.
Gruß
Metapher
Hi
Daß es Flächen im E3 gibt, deren Riemann-Metrik mit
der Riemann-Metrik der hyperbolischen Ebene übereinstimmt,
wurde von Beltrami (1868) bewiesen.
wie kann man zeigen, dass die metrik der pseudosphäre der metrik der hyperbolischen ebene übereinstimmt? ich finde in keinem buch einen hinweis darüber.
Nichteuklidische und Differentialgeometrie
ich finde in keinem buch einen hinweis darüber.
hm - du sitzt als Mathematikstudent doch an der Quelle?
In:
Manfred Lenz: Nichteuklidische Geometrie, Mannheim 1967
mit umfangreichen Literaturhinweisen
und
Bernhard Baule: Differentialgeometrie, Leipzig 1961
findest du z.B. was. Aber sicher gibt es Neueres.
Und D. Hilbert: Grundlagen der Geometrie
wenn du ihn nicht schon durchgearbeitet hast, werden ihr sicher in der Bibliothek haben.
Gruß
Metapher