Punkte durch eine Ellipse approximieren

Wissenschaft Physik
#1

Hallo!
Ich stehe momentan etwas auf dem Schlauch und komme nicht weiter.

Ich habe eine Menge von 2D-Punkten gegeben, die alle durch eine Ellipse eingeschlosseen werden sollten.
Allerdings habe ich weder den Mittelpunkt - noch die Achsen.

Den Schwerpunkt der Verteilung der Punkte würde ich frei berechnen, indem ich alle Vektoren zu den Punkten aufaddiere, und durch deren Anzahl teile.

So weit, so gut. Aber wie komme ich nun an die Haupt- und Nebenachsen?
Spontan fiel mir hierzu erst einmal ein, eine Hauptkomponentenanalyse durchzuführen - was wiederum leichter gesagt ist als getan.
Wenn ich mich nicht total irre, würde hier die Eigenvektoren der Kovarianzmatrix berechnet werden.
Wie käme ich aber an die Kovarianzmatrix?

Grüße

Björn

#2

Hallo Björn,
der Schwerpunkt stimmt schon mal so. ANsonsten ist die Fragestellung nicht klar genug formuliert, so dass ich auch nicht sehe, wofür du Kovarianzen bzw eine PCA dabei brauchst. Geht es um ein Optimierungsproblem? Bei gegebenen n Punkten, finde eine umschliessende Ellipse mit minimaler Fläche, zB?

Gruß
mauschu

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#3

Hi!

der Schwerpunkt stimmt schon mal so. ANsonsten ist die
Fragestellung nicht klar genug formuliert, so dass ich auch
nicht sehe, wofür du Kovarianzen bzw eine PCA dabei brauchst.
Geht es um ein Optimierungsproblem? Bei gegebenen n Punkten,
finde eine umschliessende Ellipse mit minimaler Fläche, zB?

Ja, die Punkte sollen von einer Ellipse mit minimaler Fläche umgeben werden. Das habe ich tatsächlich gestern vergessen dazu zu schreiben.

Die PCA wollte ich verwenden, um die Länge der Haupt- und Nebenachse zu bestimmen.
Hierfür müßte eine Kovarianzmatrix aufgestellt und analysiert werden.
Die Kovarianz müßte sich eigentlich berechnen lassen (in diesem 2D Fall):
(x-Koordinate des Punkte - x-Koordinate vom Schwerpunkt) * (y-Koordinate des Punkte - y-Koordinate vom Schwerpunkt)

Wie stelle ich aber die Kovarianzmatrix daraus auf? Und wie analysiere ich die weiter um dann die beiden Achsen zu erhalten?

Oder wüßtest du einen besseren Lösungsansatz für diesen 2D-Fall?

Grüße

Björn

#4

Hallo an dieser Stelle.

Eine kleine Suche mit der bösen Suchmaschine @ +mustererkennung +kovarianzmatrix +ellipse +PCA brachte das Schlagwort ‚Hough-Transformation‘ hervor: http://de.wikipedia.org/wiki/Hough-Transformation
Vielleicht kann das hier irgendwie nützlich sein.

HTH
mfg M.L.

#5

Hallo!

Eine kleine Suche mit der bösen Suchmaschine @
+mustererkennung +kovarianzmatrix +ellipse +PCA brachte das
Schlagwort ‚Hough-Transformation‘ hervor:

Hough-Transofrmation sagt mir durchaus etwas. Leider ist dies ein sehr starker „Brute-Force“ Ansatz und eine etwas elegantere Lösung über einen analytischen Wert würde ich bevorzugen. :wink:
Aber besten Dank für den Hinweis.

Grüße

Björn