Punktrechnung beim Doppelkopfspiel

Wissenschaft Physik
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Bitte nicht gleich wild Antworten posten, es handelt sich glaube ich um ein nicht ganz einfach zu lösendes Problem. Ich hoffe, jemand kann eine logische und schlüssige Argumentation dazu liefern.

Es geht um die Punkterechnung beim Doppelkopf, das Spiel muss man dazu nicht kennen.
Es spielen gewöhnlich zwei Spieler gegen zwei.

Variante 1
Normalspiel: Die beiden Gewinner erhält jeweils +1 Euro, die Verlierer -1 Euro.
Spielt ein Spieler ein Solo, erhält er im Falle, dass er gewinnt, 3 Euro. Die drei Verlierer müssen einen Euro abgeben (je -1). Ansonsten zahlt der Solospieler (-3) je einen Euro an die drei Verlierer (je +1).

Variante 2
Sämtliche Postiv-Beträge aus Variante 1 werden in 0 umgewandelt:
Normalspiel: Gewinner 0, 0; Verlierer -1, -1
Solospiel: Solospieler gewinn 0; Verlierer -1, -1, -1
Solospieler verliert -3; Gewinner 0, 0, 0

Die Frage lautet:
Sind die Relationen zwischen Solo und Normalspiel der beiden Varianten gleich? Hat der Solospieler in der 2. Variante im Verhältnis zu einem Normalspiel einen Nachteil?

Ich denke, dazu muss eine Kosten/Nutzenrechung für gewinn/verlieren für alle genannten Fällte aufgestellt werden und dann Relationen gebildet werden, oder?

Es handelt sich wirklich um ein Problem aus dem prallen Leben, jetzt sind die Mathematikerköpfe gefragt! Ich hab schon verschiedenen Lösungen genannt bekommen, die jedoch alle nicht wirklich für mich nachvollziehbar waren. Geht davon aus, dass in Variante 1 die Gewinner das Geld erhalten, in Variante 2 wird das Geld in eine Grillkasse eingezahlt und am Ende profitieren alle davon.

Bitte postet eine mathematische Lösung mit Begründung. Vielen Dank für Eure Hilfe!

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Hi,

Normalspiel Gewinner: +1
Normalspiel Verlierer : -1
Solo Einzelner Gewinner: +3
Solo Einzelner Verlierer: -3
Solo Rest Gewinner : +1
Solo Rest Verlierer: -1

Normalspiel Gewinner: 2/4=0,5
Normalspiel Verlierer : 2/4=0,5 - 1 = -0,5
Solo Einzelner Gewinner: 3/4=0,75
Solo Einzelner Verlierer: 3/4=0,75 - 3 =-2,25
Solo Rest Gewinner : 3/4=0,75
Solo Rest Verlierer: 3/4=0,75 - 1 =0,25

Wenn man davon ausgeht, dass die Wahrscheinlichkeit, ein Solo zu gewinnen bei 0.5 liegt, so hat der Solo-Spieler natürlich bei Variante 2 mehr Belastungen.

Gruß.Timo

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

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Hallo!

Normalspiel Gewinner: +1
Normalspiel Verlierer : -1
Solo Einzelner Gewinner: +3
Solo Einzelner Verlierer: -3
Solo Rest Gewinner : +1
Solo Rest Verlierer: -1

Normalspiel Gewinner: 2/4=0,5
Normalspiel Verlierer : 2/4=0,5 - 1 = -0,5
Solo Einzelner Gewinner: 3/4=0,75
Solo Einzelner Verlierer: 3/4=0,75 - 3 =-2,25
Solo Rest Gewinner : 3/4=0,75
Solo Rest Verlierer: 3/4=0,75 - 1 = - 0,25

In der letzten Zeile fehlte ein Minus. Ich habe das hier ergänzt

Wenn man davon ausgeht, dass die Wahrscheinlichkeit, ein Solo
zu gewinnen bei 0.5 liegt, so hat der Solo-Spieler natürlich
bei Variante 2 mehr Belastungen.

Da kann ich nicht ganz folgen. Der Erwartungswert für den Solo-Spieler ist in Variante1 0, in Variante2 -1,5. Soweit okay. Aber: Wenn n Solospiele gespielt werden, bin ich n/4-mal der Einzelspieler und gehöre 3n/4-mal zur Gegenpartei. Also beträgt der Erwartungswert für mich

Variante 1:
1/4*0 + 3/4*0 = 0

Variante 2:
1/4*(-1,5) + 3/4*(+0,5) = 0

Daher gibt es nach meiner Überzeugung keinen Unterschied zwischen den Varianten, was die Gewinnerwartung anbetrifft. Allerdings ist es in Variante zwei günstiger, zur Gegenpartei zu gehören, jedoch nicht im Vergleich zu Variante eins und auch nicht im Vergleich zum Normalspiel, sondern im Vergleich zum Solospiel als Einzelspieler.

Michael

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Huhu,
braucht man nicht noch ein paar kleine Informationen?
Ich würde glaube ich wissen wollen, ob die Gewinnwahrscheinlichkeit (bzw. Verlustchancen) im Solospiel auch 50% ist oder da man gegen 3 Mitstreiter antreten muss nur 25% (bzw. 75%)?
Bei beliebig vielen Spielrunden, kann da zwischen Normal- und Solospiel gewechselt werden?
Oder spielt es keine Rolle?

Wenn man davon ausgeht, dass die Solo-Gewinn- und Verlustwahrscheinlichkeit immer 50% betragen.
Solo:
1.) 3 * 0,5 - 3 * 0,5 = 0
2.) 0,75 * 0,5 - 2,25 * 0,5 = - 0,75
Normal:
1.) 1 * 0,5 - 1 * 0,5 = 0
2.) 0,5 * 0,5 - 0,5 * 0,5 = 0

Wird Normal gespielt, gibt es keinen Unterschied zwischen den Varianten, dagegen bei Solo ist Variante 1 zu empfehlen.
Vergleicht man die Relation zwischen Normal und Solo ist bei Variante 1 kein Unterschied zu erkennen, wohl aber bei Variante 2.

Bei einer Wahrscheinlichkeit G:25% zu V:75%
Solo:
1.) 3 * 0,25 - 3 * 0,75 = -1,5
2.) 0,75 * 0,25 - 2,25 * 0,75 = -1,5
Normal:
1.) 1 * 0,5 - 1 * 0,5 = 0
2.) 0,5 * 0,5 - 0,5 * 0,5 = 0
Beide Varianten gleich. Es wäre von einem Solospiel abzuraten.

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Hallo zusammen,

vielen Dank für Eure Antworten! Am besten für mich verständlich war jedoch eine Email, die ich erhielt:

Hallo Michael,
bei der ganzen Fragestellung muss man eigentlich die Wahrscheinlichkeiten wissen, mit der ein normales Spiel bzw. mit der ein Solo-Spiel gewonnen wird. Wenn man davon ausgeht, dass diese W. immer 0,5 ist, ist in Variante 2 der Solospieler tatsächlich schlechter dran als die übrigen Spieler. Dies macht folgende Überlegung klar:
Angenommen, es werden nur 2 Spiele gespielt, und das sind beides Solospiele desselben Spielers. Angenommen, das eine verliert er und das andere gewinnt er. Dann zahlt er 3 Euro und die anderen zahlen je 1 Euro in die Grillkasse. Diese 6 Euro werden quasi unter den 4 Spieler verteilt („alle profitieren davon“), d.h. jeder „erhält“ 1,50 Euro. Somit macht der Solospieler einen Verlust von 1,50 und die anderen je einen Gewinn von 0,50 Euro, und das, obwohl 2 „gleichartige“ Spiele stattgefunden haben und jeder einmal gewonnen hat.

Was meint Ihr dazu? Zu den Wsk: Ein Solospieler geht prinzipiell davon aus, dass er das Spiel gewinnen wird (er kann das vorher abwägen, indem er schaut, wie viele Asse und Trumpfkarten er hat und wie viele die Gegenspieler insgesamt haben müssen). Also könnte man eine Wsk. von 75% oder größer annehmen, wenn das hilft (ich dachte, das wäre eher irrelevant; man kommt doch zu keiner anderen Aussage, wenn man 50% annimmt, oder?)

Nochmal die Fragestellung: Ist das Risiko in Variante 2 in Relation zu einem Normalspiel höher, gleich oder sogar niedriger als in Variante 1? Sind die Relationen Solospiel zu Normalspiel für den Solospieler in beiden Varianten gleich?

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Vielen Dank für Deine Antwort,
zu Deinen Fragen:

Huhu,
braucht man nicht noch ein paar kleine Informationen?
Ich würde glaube ich wissen wollen, ob die
Gewinnwahrscheinlichkeit (bzw. Verlustchancen) im Solospiel
auch 50% ist oder da man gegen 3 Mitstreiter antreten muss nur
25% (bzw. 75%)?

Ein Solospieler geht prinzipiell davon aus, dass er das Spiel gewinnen wird (er kann das vorher abwägen, indem er schaut, wie viele Asse und Trumpfkarten er hat und wie viele die Gegenspieler haben). Also kann man eher eine Gewinnwsk. für den Solospieler größer/gleich 75% annehmen.

Bei beliebig vielen Spielrunden, kann da zwischen Normal- und
Solospiel gewechselt werden?
Oder spielt es keine Rolle?

Man kann sooft Solospiel spielen, wie man möchte. Allerdings natürlich nur, wenn die Karten es hergeben (s.o). Empirisch würde ich sagen, dass insgesamt bei 10 Runden etwa 2 Solospiele stattfinden. Aber das ist prinzipiell für die Fragestellung nicht relevant, da es ja um Verhältnis „Solospiel“ zu „Normalspiel“ geht (Variante 1 vs 2), und dieses Verhältnis ändert sich ja nicht, da in beiden „Auszahlungsvarianten“ die Häufigkeit eines Solospiels gleich bleibt.

Eine weitere Anwort, die mich per Email erreicht hat, habe ich in den anderen Ast gepostet.

Grüße
Michael

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Hi,

Angenommen, es werden nur 2 Spiele gespielt, und das sind
beides Solospiele desselben Spielers. Angenommen, das eine
verliert er und das andere gewinnt er. Dann zahlt er 3 Euro
und die anderen zahlen je 1 Euro in die Grillkasse. Diese 6
Euro werden quasi unter den 4 Spieler verteilt („alle
profitieren davon“), d.h. jeder „erhält“ 1,50 Euro.

wenn der Solospieler gewinnt, bekommt er 3 Euro, die anderen 3 zahlen diese 3 Euro, indem jeder 1 Euro abgibt.
Verliert der Solospieler das Spiel, ist es genau andersrum, also zahlt er die 3 Spieler aus.
Also sind wir nach 2 Solorunden (eins gewonnen, eins verloren) wieder bei 0 Euro für jeden, oder? Das Geld kommt ja nicht in einen Pott, sondern wird zwischen den Personen hin und her geschoben.

Somit
macht der Solospieler einen Verlust von 1,50 und die anderen
je einen Gewinn von 0,50 Euro, und das, obwohl 2
„gleichartige“ Spiele stattgefunden haben und jeder einmal
gewonnen hat.

Nein, es ist quasi nichts passiert.

Was meint Ihr dazu? Zu den Wsk: Ein Solospieler geht
prinzipiell davon aus, dass er das Spiel gewinnen wird (er
kann das vorher abwägen, indem er schaut, wie viele Asse und
Trumpfkarten er hat und wie viele die Gegenspieler insgesamt
haben müssen). Also könnte man eine Wsk. von 75% oder größer
annehmen, wenn das hilft (ich dachte, das wäre eher
irrelevant; man kommt doch zu keiner anderen Aussage, wenn man
50% annimmt, oder?)

Ich denke, dass man da nur sehr schwer mit Wahrscheinlichkeiten rechnen kann, da es nun mal wirklich sehr stark von den Karten abhängt, ob man ein Solo spielt oder nicht. Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen ist doch bei jedem Spiel anders.
Das ist quasi wie beim Fußball, da ist es auch ein Unterschied, ob Bayern München gegen Duisburg spielt oder gegen den Hamburger SV. Auch wenn natürlich zu 33% Bayern gewinnt, zu 33% der Gegner und zu 33% ein Unentschieden. Aber mit diesen Wahrscheinlichkeiten zu rechnen, wäre falsch. Deshalb gibt es bei Fußballwetten ja unterschiedliche Quoten, weil die Wahrscheinlichkeit für einen Sieg halt immer anders ist.

Nochmal die Fragestellung: Ist das Risiko in Variante 2 in
Relation zu einem Normalspiel höher, gleich oder sogar
niedriger als in Variante 1? Sind die Relationen Solospiel zu
Normalspiel für den Solospieler in beiden Varianten gleich?

Man braucht schon recht gute Karten um ein Solospiel zu gewinnen, schließlich muss man alleine mehr Punkte holen als die anderen 3 zusammen. Von daher ist es schon riskanter. Aber es gibt Karten, bei denen es ein Klacks ist, zu gewinnen. Dann ist das Risiko bzw. die Wahrscheinlichkeit zu verlieren, schon wieder kleiner.
Ich behaupte, das kann man nicht allgemein ausrechnen, sondern ist von Spiel zu Spiel unterschiedlich.

Gruß,

Steffie

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Was ich noch vergessen habe: Mich interessiert natürlich auch, wie man es denn dann „angleichen“ könnte. Also wie macht man es fair?

Ist da meine Überlegung richtig, dass bei Variante 2 der Solospieler -2, bzw. die Gegenspieler je -2 bekommen müssten, wenn sie verlieren? (Bei Gewinn erhalten sie ja grundsätzlich 0 aufgeschrieben). Ich erkläre das wie folgt:

Bei Variante 1 sind ja die „Abstände“ bei einem Normalspiel für den Gewinner 0,2,2 (er hat 0 Abstand zu seinem Mitgewinner gut gemacht, jedoch jeweils 2 Abstand zu den beiden Verlierern, da Gewinner +1 +1, und Verlierer -1, -1). Also könnte man doch 0+2+2 = 4 „Gewinn-Punkte“ (oder Verlust-Punkte) annehmen.

Bei einem Solospiel entstehen für den Solospieler ein Abstand von +4 bzw. -4 zu drei Spielern (Solosp. gewinnt +3, drei Verlierer jeweils -1, -1, -1; wenn Solospieler verliert: -3, drei Gewinner je +1, +1, +1). Das entspricht dann 3*4 = 12 Punkte (oder -12 Punkte). Jedenfalls ist das Verhältnis des Punkteunterschiedes für den potenziellen Solospieler 3 Mal so groß (12/4 = 3).

Bei Variante 2 ist das Verhältnis
bei einem Normalspiel:
zu einem Spieler 0, zu den anderen beiden Spielern je 1 (0,0 ; -1,-1), also 2 Punkte (0+1+1 = 2)
bei einem Solospiel:
zu drei Spielern 1 ==> 3*1 = 3 Punkte bzw. wenn der Solospieler verliert: 3*-3 ==> -9 Punkte

folglich müssten dann, um das Verhältnis wie in Variante 1 zu wahren, doch -2 für die drei Verlierer bzw. -2 für den verlierenden Solospieler aufgeschrieben werden, oder? Dadurch entstünden für den Solospieler in beiden Fällen insgesamt 6 Punkte Abstand zu den Gegenspielern, was das 3fache von dem Normalspiel wäre (3*2 Punkte = 6 Punkte) und dann dem Verhältnis in Variante 1 entpräch, oder?

Ist ein Fehler in meiner Überlegung? Auch aus der Sicht eines Gegenspielers müsste die Argumentation greifen.

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Hallo Weigo!

Man kann es - wie schon erwähnt - über den Erwartungswert (E) auflösen.

Da die Wahrscheinlichkeit, ein Solospiel zu gewinnen, unbekannt ist, rechnen wir eben mit Variablen.

Ich betrachte nur das Solospiel (hier lag ja die Frage) und betrachte Variante 1 mit

P({Solospieler gewinnt}) = p
P({Solospieler verliert}) = (1-p)

Variante 1: Gewinn Solospieler({Solospieler gewinnt})= +3
Variante 1: Gewinn Solospieler({Solospieler verliert})= -3

E[Gewinn Solospieler, Variante 1]

P({Solospieler gewinnt})*Gewinn Solospieler({Solospieler gewinnt})
+
P({Solospieler verliert})*Gewinn Solospieler({Solospieler verliert})

p*(+3) + (1-p)*(-3)

6p - 3
______

Dem entsprechend liegen:

E[Gewinn Kontrablatt, Variante 1] = -2p + 1

E[Gewinn Solospieler, Variante 2] = 3p - 3

E[Gewinn Kontrablatt, Variante 2] = -p

Jetzt kann man für jede denkbare Wahrscheinlichkeit, ein Solospiel zu gewinnen, die beiden Varianten bezüglich des Gewinners und der Verlierer vergleichen.

Für den, der gerne Solo spielt, gilt also:

E[Gewinn Solospieler, Variante 1] = 6p - 3
E[Gewinn Solospieler, Variante 2] = 3p - 3

mit (E=-3 bei p=0) über (E=0 bei p=0.5) bis (E=+3 bei p=1) für Variante 1

und (E=-3 bei p=0) über (E=-1.5 bei p=0.5) bis (E=0 bei p=1) für Variante 2

Wenn ich mir das ganze jetzt als lineare Funktion vorstelle für p von 0 bis 1 (es ist ja auch eine… :wink: ), dann gewinnt bei mir die Variante 1 aus der Sicht des Solospielers immer (egal wie groß p ist, ausser bei 0 isses egal - aber dann sollte man irgendwann kein Solo mehr spielen… :wink: ).

Lieben Gruß
Patrick