Hey,
wie komme ich darauf, zu welchem Punkt P im Koordinatensys. zB.
f(x)=(x-4)^3 + 1 punktsym. ist? (unter der Voraussetzung dass alle Exponenten ungerade sind, da ja sonst keine Punktsym. möglich)
Durch ‚hinschauen‘ > P(4/1), nur wie kann ich das errechnen?
Die Formel f(x)=2*f(x_0) - f(2*x_0 - x) nützt mir ja nur was um zu beweisen ob P(4/1) richtig ist…
Mfg
Hallo!
Deine Funktionsgleichung hat aber nicht nur ungerade Exponenten. Du musst die ()³ ausmultiplizieren. Deshalb passt der Punkt (-4/-1) nicht. Z.Beisp. bei f(x)=x³ gibt es die symetrischen Punkte (1/1) und (-1/-1)
Gruß
Analüt
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Deine Funktionsgleichung hat aber nicht nur ungerade
Exponenten. Du musst die ()³ ausmultiplizieren. Deshalb passt
der Punkt (-4/-1) nicht. Z.Beisp. bei f(x)=x³ gibt es die
symetrischen Punkte (1/1) und (-1/-1)
Hm ja thx stimmt.
> f(x)=x³-12x²+48x+65
Inwiefern bringt mich das jetzt weiter um zu errechnen, zu welchem Punkt im Koordinatensystem die Fkt. symmetrisch ist?
Vllt wurde das jettz falsch verstanden, ich suche nicht symmetrische Punkte,sondern den Punkt P(x/y) zu dem der Fkt.graph symmetrisch ist 
also zB f(x)=x³ > graph ist zu P(0/0) symmetrisch
Hannes
Hallo!
wie komme ich darauf, zu welchem Punkt P im Koordinatensys.
zB.
f(x)=(x-4)^3 + 1 punktsym. ist? (unter der Voraussetzung dass
alle Exponenten ungerade sind, da ja sonst keine Punktsym.
möglich)Durch ‚hinschauen‘ > P(4/1),
So ist es wahrscheinlich gedacht. Du sollst erkennen, dass es sich um eine kubische Normalparabel handelt, deren Sattelpunkt bei (4;1) liegt. Dann sollst Du wissen, dass kubische Parabeln punktsymmetrisch im Sattelpunkt sind, und damit hast Du die Lösung.
nur wie kann ich das
errechnen?
Punktsymmetrie im Ursprung bedeutet ja f(–x)=–f(x). Punktsymmetrie in einem beliebigen Punkt (x0;y0) bedeutet dann f(x0–x)–y0=–(f(x0+x)–y0). (Will ich jetzt nicht hier herleiten, hab ich mir aber gerade überlegt und hoffe, dass es stimmt.) Das kann man auch so schreiben:
f(x0–x)+f(x0+x)=2y0.
Nun setzen wir das in unsere Funktion ein und hoffen, dass wir x0 und y0 rauskriegen:
[((x0–x)–4)³ + 1] + [((x0+x)–4)³ + 1] = 2y0
aufgelöst: x0³ + 3x0*x² – 12x0² – 12x² + 48x0 – 63 = y0
und weiter: (x0³ – 12x0² + 48x0 – 63 – y0) + (3x0 – 12)x² = 0.
Das Ganze soll von x nicht abhängen (die Symmetrieeigenschaft soll ja für jedes beliebige x gelten), also muss der Koeffizient vor x² verschwinden: 3x0 – 12 = 0. Daraus erhältst Du sofort x0=4.
Nun kannst Du dieses Ergebnis einsetzen, und dann steht da: 1 – y0 = 0. Da ist die Lösung.
Liebe Grüße
Immo
Hallo!
Also ich komme auf x³-12x²+48x-63
Merke: Jede Parabel mit der Gleichung y=ax³+bx²+cx+d hat einen Wendepunkt und ist zu diesem symmetrisch.
Gruß
Analüt
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Hallo Ihr!
Also ich komme auf x³-12x²+48x-63
Merke: Jede Parabel mit der Gleichung y=ax³+bx²+cx+d hat einen
Wendepunkt und ist zu diesem symmetrisch.
ja stimmt hab ich mich wohl am ende verrechnet…
Kann ich mit dieser Gleichung denn dann den Wendepunkt berechnen?
f(x0–x)+f(x0+x)=2y0
Diese Gleichung find ich ganz einleuchtend, danke
Meiner Meinung nach müsste die aber so heißen:
f(x0+x)-f(x0-x)=2y0
Und danach würde ich so weiterrechnen, indem ich für x eine beliebige Zahl - beispielsweise 1 - einsetze und y0 ersetze ich durch f(x).
Dann bekomme ich am Ende x0 raus und damit auch y0
grüße
Hallo Hannes!
Also ich komme auf x³-12x²+48x-63
Merke: Jede Parabel mit der Gleichung y=ax³+bx²+cx+d hat einen
Wendepunkt und ist zu diesem symmetrisch.ja stimmt hab ich mich wohl am ende verrechnet…
Kann ich mit dieser Gleichung denn dann den Wendepunkt
berechnen?
Du kannst den Wendepunkt wie immer mit der zweiten Ableitung berechnen.
f(x0–x)+f(x0+x)=2y0
Diese Gleichung find ich ganz einleuchtend, danke
Meiner Meinung nach müsste die aber so heißen:
f(x0+x)-f(x0-x)=2y0
Mit plus ist sie schon richtig (kommt ja auch das richtige raus), ich mach jetzt keine Skizze. Mach Dir mal selbst eine (z.B. eine kubische Normalparabel, die irgendwie verschoben ist) und schau, was Du dir jetzt unter Punktsymmetrie vorstellst, was da gleich sein soll. Vielleicht siehst Du dann auch das Plus. ich hab’s oben ja auch schon etwas hergeleitet.
Und danach würde ich so weiterrechnen, indem ich für x eine
beliebige Zahl - beispielsweise 1 - einsetze und y0 ersetze
ich durch f(x).
Was hat denn y(0) mit f(x), also in Deinem Beispiel f(1), zu tun? Das hieße ja, dass Du voraussetzt, dass das Symmetriezentrum bei Deinem x=1 liegt. Aber Du willst ja rausfinden, wo es ist.
Richtig ist, dass Du z.B. x=1 einsetzen kannst, aber dann hast Du eine Gleichung mit zwei Unbekannten (nämlich x0 und y0). Wenn Du jetzt noch etwas anderes einsetzt (bitte nicht 0 und nicht -1), dann bekommst Du noch eine zweite Gleichung, und nun hast Du ein Gleichungssystem, welches Du evtl. lösen kannst. (Ich probier’s jetzt nicht aus, ich hab’s ja oben schon für allgemeines x gemacht, insofern sollte es auch mit bestimmten x gehen.)
Liebe Grüße
Immo
Hey! 
y=ax³+bx²+cx+d
Du kannst den Wendepunkt wie immer mit der zweiten Ableitung
berechnen.
Hm bin erst in der 11., zweite Ableitung sagt mir leider wenig:/
f(x0–x)+f(x0+x)=2y0
ja okay richtig.sry.
(…) und y0 ersetzeich durch f(x).
Was hat denn y(0) mit f(x), also in Deinem Beispiel f(1), zu
tun? Das hieße ja, dass Du voraussetzt, dass das
Symmetriezentrum bei Deinem x=1 liegt. Aber Du willst ja
rausfinden, wo es ist.
y_0 ist doch die y-Koordinate des Punktes, gilt dort dann nicht y_0=f(x) ?
(…)Ich probier’s jetzt nicht aus, ich hab’s ja oben
schon für allgemeines x gemacht, insofern sollte es auch mit
bestimmten x gehen.
folgender schritt ist mir nicht so klar:
und weiter (x0³ – 12x0² + 48x0 – 63 – y0) + (3x0 – 12)x² = 0.
Das Ganze soll von x nicht abhängen (die Symmetrieeigenschaft soll ja :für jedes beliebige x gelten), also muss der Koeffizient vor x² :verschwinden
Dass es für beliebige x gelten soll,ist mir klar, Warum klammerst du das aber dann so aus (in dem fall x²) und betrachtest nur 3x0-12 ?
danke schonmal für deine investierte zeit:wink:
hannes
(…) und y0 ersetzeich durch f(x).
Was hat denn y(0) mit f(x), also in Deinem Beispiel f(1), zu
tun? Das hieße ja, dass Du voraussetzt, dass das
Symmetriezentrum bei Deinem x=1 liegt. Aber Du willst ja
rausfinden, wo es ist.y_0 ist doch die y-Koordinate des Punktes, gilt dort dann
nicht y_0=f(x) ?
Hey, wollte meinem letzten beitrag nochmal was (hoffentlich richtigeres) hinzufügen *g*
ich nehm jetzt einfach mal P(a;b) anstatt (x0;y0) :
f (a+x) + f (a-x) = 2*b = 2*f (a)
denn es gilt b = f(a) (bzw. y0 = f(x0) )
Das stimmt jetzt oder??
Dann setze ich wieder zB x=1 und ich habe das auch anhand eines beispiels mal probiert und es kommen die richtigen a und b raus.
(soll ich mein beispiel hier mal ausführen??)
Finde diese Methode (für mich) bis jetzt am ‚einfachsten‘ …
Lg Hannes
(…) und y0 ersetzeich durch f(x).
Was hat denn y(0) mit f(x), also in Deinem Beispiel f(1), zu
tun? Das hieße ja, dass Du voraussetzt, dass das
Symmetriezentrum bei Deinem x=1 liegt. Aber Du willst ja
rausfinden, wo es ist.y_0 ist doch die y-Koordinate des Punktes, gilt dort dann
nicht y_0=f(x) ?Hey, wollte meinem letzten beitrag nochmal was (hoffentlich
richtigeres) hinzufügen *g*ich nehm jetzt einfach mal P(a;b) anstatt (x0;y0) :
f (a+x) + f (a-x) = 2*b = 2*f (a)denn es gilt b = f(a) (bzw. y0 = f(x0) )
Das stimmt jetzt oder??
Jaaa! Jetzt hast Du’s durchschaut, da freu ich mich gleich mit!
Dann setze ich wieder zB x=1 und ich habe das auch anhand
eines beispiels mal probiert und es kommen die richtigen a und
b raus.
Das versteh’ ich jetzt nicht: Wenn Du x=1 einsetzt, dann kriegst Du eine Gleichung, in der a und b noch unbekannt sind. Suchst Du Dir jetzt für a einfach irgendwas aus oder wie?
(soll ich mein beispiel hier mal ausführen??)
Wenn’s keine Umstände macht…
Und nochmal zur vorigen Frage (vorm Nachtrag):
Ich dachte eigentlich, dass man in der 11. Klasse schon mit Ableitungen anfängt (wir haben das gemacht, und in Berlin / Brandenburg ist es auch immer noch so), aber wenn Ihr das nicht macht, dann kümmer Dich nicht weiter um Wendepunkte, das lernst Du noch früh genug; oder, wenn Du’s wirklich wissen willst, klick Dich durch die Wiki, da sind ja auch immer anschauliche Grafiken drin, was hier nicht so gut geht.
und weiter (x0³ – 12x0² + 48x0 – 63 – y0) + (3x0 – 12)x² = 0.
Das Ganze soll von x nicht abhängen (die Symmetrieeigenschaft soll ja :für jedes beliebige x gelten), also muss der Koeffizient vor x² :verschwindenDass es für beliebige x gelten soll,ist mir klar, Warum
klammerst du das aber dann so aus (in dem fall x²) und
betrachtest nur 3x0-12 ?
Für x0 und y0 kommen ja am Ende irgendwelche Zahlen raus ((1;4) oder was das war). In den beiden Klammern hab ich also nur Zahlen stehen. Ich hab nur die Terme, die von x (der einzigen Variablen) abhängen, zusammengefasst; und die, die nicht von x abhängen, auch. (Von mir aus mach das mit a und b, falls es Dir dadurch leichter fällt.) Das ist erst einmal der Grund, warum ich das so ausklammere.
Nun steht da also in der ersten Klammer eine Zahl (die ich noch nicht kenne) und in der zweiten auch. Ich nenne diese Zahlen (für die ganzen Klammern) jetzt mal p bzw. q. Da steht dann also:
p + q*x = 0 für jedes x.
Wenn q nicht null wäre, dann wäre p+q*0 doch etwas anderes als p+q*1; aber hier ist ja beides gleich (nämlich Null)! Also muss q gleich null sein, und da 0 = q = 3*x0 – 12 ist, krieg ich so das x0 raus.
Nun muss ich mich um q*x nicht mehr kümmern, denn das ist ja null, und ich kann aus p=0 (was übrig bleibt) auch das y0 berechnen.
Wenn Du das mit zwei Werten herausbekommst, machst Du auch nichts anderes: Ich setze mal x=0 und x=1 ein, dann steht da:
p + q = 0
p = 0.
p=0 steht also schon da; und wenn ich das in die erste Gleichung einsetze, steht da auch q=0.
Ich hoffe, ich habe Dich jetzt nicht mehr verwirrt als Dir geholfen.
Liebe Grüße
Immo
Hey,
wie komme ich darauf, zu welchem Punkt P im Koordinatensys.
zB.
f(x)=(x-4)^3 + 1 punktsym. ist? (unter der Voraussetzung dass
alle Exponenten ungerade sind, da ja sonst keine Punktsym.
möglich)Durch ‚hinschauen‘ > P(4/1), nur wie kann ich das
errechnen?Die Formel f(x)=2*f(x_0) - f(2*x_0 - x) nützt mir ja nur was
um zu beweisen ob P(4/1) richtig ist…
Hi,
Punktsymmetrie f(-x) = - f(x)
f(x) = (x-4)^3+1
Die Verschiebung von -4 muß kompensiert werden
(-x+4)^3+1 = -(x-4)^3+1
Beispiel:
f(-6) = - f(6)
(-6+4)^3+1 = -(6-4)^3+1
(-2)^3 + 1 = -(2)^3+1
-8+1 = -8 +1
Symm.Punkt ist (4/1)
Gruß
Horst
Hey
Das versteh’ ich jetzt nicht: Wenn Du x=1 einsetzt, dann
kriegst Du eine Gleichung, in der a und b
noch unbekannt sind. Suchst Du Dir jetzt für a einfach
irgendwas aus oder wie?
a und b sind noch unbekannt,aber da ich b durch f(a) ersetze,hab ich nur noch eine Unbekannte. Und für a suche ich mir ja nicht iwas aus,sondern errechne a. Und soll ja für beliebige x gelten,also darf ich auch beliebige Zahlen für x einsetzen oder?(für a und b muss nur immer das selbe rauskommen)
Bsp: f(x) = (x-5)³ + 2 ; ( >>> Vermutung P (5;2) ); für x gelte x=1;
f(a+1) + f(a-1) = 2*b = 2*f(a)
(a+1-5)³ + 2 + (a-1-5)³ + 2 = 2*((a-5)³ + 2)
a³-12*a²+48*a-64+a³-18*a²+108*a-216 = 2*a³-30*a²+150*a-250
2*a³ - 30*a² + 156*a - 280 = 2*a³ - 30*a² + 150*a - 250
6*a = 30
a = 5
>> f(a) = (a-5)³+2 = (5-5)³+2 = 2 = b
>>> P (5;2)
Für x0 und y0 kommen ja am Ende irgendwelche Zahlen raus
((1;4) oder was das war). In den beiden Klammern hab ich also
nur Zahlen stehen. Ich hab nur die Terme, die von x (der
einzigen Variablen) abhängen, zusammengefasst; und die, die
nicht von x abhängen, auch. (Von mir aus mach das mit a und b,
falls es Dir dadurch leichter fällt.) Das ist erst einmal der
Grund, warum ich das so ausklammere.
Nun steht da also in der ersten Klammer eine Zahl (die ich
noch nicht kenne) und in der zweiten auch. Ich nenne diese
Zahlen (für die ganzen Klammern) jetzt mal p bzw. q. Da steht
dann also:
p + q*x = 0 für jedes x.
ja,soweit verstanden:wink:
Wenn q nicht null wäre, dann wäre p+q*0 doch etwas anderes als
p+q*1; aber hier ist ja beides gleich (nämlich Null)!
…damit es für jedes x gilt, muss also q*x=0 sein
und wg p+q*x=0 muss auch p=0 sein…gut:smile:
Wenn Du das mit zwei Werten herausbekommst, machst Du auch
nichts anderes: Ich setze mal x=0 und x=1 ein, dann steht da:
p + q = 0
p = 0.
p=0 steht also schon da; und wenn ich das in die erste
Gleichung einsetze, steht da auch q=0.
ja versteh ich auch warum das so ist, aber warum sollten für das (was meinst du mit ‚das‘?) zwei Werte rauskommen?
Danke für deine bisherigen Erklärungen
Lg Hannes
Hey!
Punktsymmetrie f(-x) = - f(x)
f(x) = (x-4)^3+1
Die Verschiebung von -4 muß kompensiert werden
(-x+4)^3+1 = -(x-4)^3+1
Beispiel:
f(-6) = - f(6)
(-6+4)^3+1 = -(6-4)^3+1
(-2)^3 + 1 = -(2)^3+1
-8+1 = -8 +1
Symm.Punkt ist (4/1)
f(-x) = - f(x) gilt bei Punktsym. zu P(0;0) (=Ursprung), zu einem Punkt P(a;b) gilt f(a+x) + f(a-x) = 2*b , …?
Hm wie kommst du denn (rein rechnerisch) von
-8+1 = -8 +1
auf
Symm.Punkt ist (4/1)
?
Lg Hannes
Hi Hannes!
a und b sind noch unbekannt,aber da ich b durch f(a)
ersetze,hab ich nur noch eine Unbekannte.
Da stand ich jetzt aber lange auf dem Schlauch! Natürlich brauchst Du dann nur irgendeinen von null verschiedenen Wert einzusetzen, Du rechnest schließlich nur eine Unbekannte aus.
Auf die Idee, b durch a auszudrücken, wäre ich wohl erst gekommen, wenn’s anders nicht gegangen wäre!
Liebe Grüße
Immo
Hey Immo!
danke auf jeden Fall für deine Beiträge!
Hat mich auch ein wenig Zeit gekostet^^
Muss das nach den Ferien meiner Klasse in nem Referat zeigen xD
liebe grüße Hannes
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Hi Hannes,
bei der Gleichung (x-4)^3+1 ist der Koord.ursprung um +1 nach oben und um +4 nacht rechts verschoben.
Gemäß f(-x) = -f(x) muß das gesamte Argument (X-4) mit minus eins multipliziert werden, ergibt (-X+4)^3+1 = (x-4)^3+1
Gruß
Horst