HI alle zusammen!
Die Ableitung einer Funktion F(x) 3ten Grades, ist eine Quadratfunktion! Diese hat einen Scheitelpunkt bei X0! Diese Parabel ist achsensymetrisch zur Achse X=X0 An der Stelle X0+d und X0-d, hat man gleiche Funktionswerte! Also hat die Funktion F(x) and diesen Stellen jeweils die gleiche Steigung!
Frage: Kann man hieraus auf Punktsymetrie schließen? Wenn nicht, gibt es dann eine Funktion F(x) 3ten Grades, die an den Stellen X0+d und X0-d die gleiche Steigung hat, aber nicht Punktsymetrisch zum Wendepunkt ist???
Danke für die Antworten!
MFG Tobias
Hallo Tobias!
Die Ableitung einer Funktion F(x) 3ten Grades, ist eine
Quadratfunktion! Diese hat einen Scheitelpunkt bei
X0! Diese Parabel ist achsensymetrisch zur Achse
X=X0 An der Stelle X0+d und
X0-d, hat man gleiche Funktionswerte! Also hat die
Funktion F(x) and diesen Stellen jeweils die gleiche Steigung!
Frage: Kann man hieraus auf Punktsymetrie schließen?
Ja, kann man. Definieren wir erstmal eine Funktion zweiten Grades mit Scheitelpunkt bei x0: g(x) = a * (x - x0)^2 + b. Man sieht leicht, daß diese Funktion achsensymmetrisch um x=x0 ist.
Jetzt suchen wir eine Funktion G, deren Ableitung g ist. Das sind alle Funktionen der Form G(x) = 1/3 * a * (x - x0)^3 + b * x + c. Das schreiben wir mal etwas um zu G(x) = 1/3 * a * (x - x0)^3 + b * (x - x0) + c’, wobei c’ = c + b * x0. Diese Funktion ist nun punktsymmetrisch zum Punkt (x0, c’):
G(x0 - x') - c' = - 1/3 \* a \* x'^3 - b \* x'
= - (1/3 \* a \* x'^3 + b \* x')
= - (1/3 \* a \* (x' + x0 - x0)^3 + b \* (x' + x0 - x0) + c') + c'
= - G(x0 + x') + c'
Chris