ich habe, glaube ich, ein grundlegendes Problem mit dem Verständnis des Quantenmechanik (geht das allen so? *g*).
Als Beispiel das Wasserstoffatom: im Hamiltonoperator taucht das 1/r-Potenzial auf, wobei r der Abstand zwischen Atomkern und Elektron ist.
Bei der Rechnung kommt aber heraus, dass das Elektron gar nicht genau lokalisiert ist (das hätten wir auch schon vorher aus der Unschärferelation gewusst…). Dann ist doch r gar nicht wohldefiniert, und damit ist die ganze Rechnung ad absurdum geführt - oder nicht? Wieso kann ich eine Ortskoordinate verwenden, obwohl das Elektron als Welle aufgefasst wird und daher keinen scharfen Ort hat?
in der QM rechnet man mit Wahrscheinlichkeitsfunktionen und da
ist der Radiums wohldefiniert.
Und wie kommt man dann z.B. auf scharfe Energiewerte, wenn die Energie vom Radius abhängt und der Radius statistisch verteilt ist? Die Energien sind doch im scharf, weil sie Eigenwerte des Hamiltonoperators sind, richtig?
(Die Rechnung kenne ich, es geht mir wirklich nur ums Verständnis)
Als Beispiel das Wasserstoffatom: im Hamiltonoperator taucht
das 1/r-Potenzial auf, wobei r der Abstand zwischen Atomkern
und Elektron ist.
nur im klassischen Grenzfall entspricht r dem Abstand zwischen Kern und Elektron'. Quantenmechanisch wird das Elektron’ durch eine Wellenfunktion beschrieben, die für jedes r einen anderen Wert annehmen kann, z.B. so:
Trotz `unbestimmtem’ r (im Grunde ist das Elektron beim Wasserstoffatom ja im ganzen Universum verteilt) kann das einen festen Energiewert ergeben - quasi den mittleren Wert über die möglichen Aufenthaltsorte.
die Energieniveaus sind Eigenwerte des Hamiltonoperators.
Genau. Und wieso sind diese dann scharf messbar, wenn der Abstand Elektron-Kern nicht scharf ist, die Energie des Systems aber von diesem Abstad abhängt? Gibt es dazu eine anschauliche Erklärung? Wie gesagt, der Formalismus ist mir bekannt (im wesentlichen zumindest, einiges habe ich auch wieder vergessen *g*), ich probiere nur gerade, für mich ein paar paradox erscheinende Sachen zu klären.
Als Beispiel das Wasserstoffatom: im Hamiltonoperator taucht
das 1/r-Potenzial auf, wobei r der Abstand zwischen Atomkern
und Elektron ist.
nur im klassischen Grenzfall entspricht r dem `Abstand
zwischen Kern und Elektron’.
Und wieso darf man dann den klassischen Grenzfall benutzen, um den Hamiltonoperator zu konstruieren, wenn man damit ein Problem behandelt, das nicht der klassische Grenzfall ist? Ok, vermutlich ist dass ein Axiom der QM…
Trotz `unbestimmtem’ r (im Grunde ist das Elektron beim
Wasserstoffatom ja im ganzen Universum verteilt) kann das
einen festen Energiewert ergeben - quasi den mittleren Wert
über die möglichen Aufenthaltsorte.
Hm, wenn ich mir das ein paar mal durch den Kopf gehen lasse wird das langsam immer logischer.
Und wieso darf man dann den klassischen Grenzfall benutzen, um
den Hamiltonoperator zu konstruieren, wenn man damit ein
Problem behandelt, das nicht der
klassische Grenzfall ist? Ok, vermutlich ist dass ein Axiom
der QM…
der metatheoretische Vorgang des `Quantisierens einer Theorie’ (also z.B. die Ersetzung von physikalischen Größen durch Operatoren vermittels des Korrespondenzprinzips) ist durchaus nichttrivial.
Aber grundsätzlich geht man ja mit der Voraussetzung an die Sache heran, dass in einem gewissen Grenzfall, das klassische Verhalten reproduziert wird, weshalb es nur logisch erscheint, dass man die bekannten klassischen Formeln mit einbaut.
Vielleicht tröstet dich auch der große Feynman ein wenig: „There was a time when the newspapers said that only twelve men understood the theory of relativity. I do not believe that there ever was such a time. […] On the other hand, I think I can safely say that nobody understands quantum mechanics.“
Genau. Und wieso sind diese dann scharf messbar, wenn der
Abstand Elektron-Kern nicht scharf ist, die Energie des
Systems aber von diesem Abstad abhängt? Gibt es dazu eine anschauliche Erklärung?
betrachte das Elektron nicht als punktförmiges Teilchen, sondern als Wolke, deren Dichteverteilung durch die Wellenfunktion gegeben ist. Dann ist der Ort - auch einer klassischen Wolke - unbestimmt, aber du kannst für jedes infinitesimale Wolkenelement eine exakte Energie im Kernfeld ausrechnen, diese aufsummieren bzw. integrieren und du erhältst einen genau bestimmten Energiewert.