Quad gleichung erstellen mit vorgaben

Wissenschaft Mathematik
#1

hi zusammen
ich scheitere gerade an einer aufgabe, mit folgender stellung
x1 und x2 sind die lösungen der quad.gleichung:
x^2 + wx + 4 = 0
x1 = 2 * x2
gesucht ist w
ich dachte; da gabs doch den satz von vieta; und erstellte ein gleichungssystem.
satz von vieta:
x^2 + px + q = 0
x1 + x2 =-p
x1 * x2 = q
da ja in dem gegebenem fall q=4 und x2=(x1)/2:
x1 * (x1)/2=4 => x1^2 = 8 => x1 = ±sqrt(8)
x1 + (x1)/2=w => 1.5 * x1 = w => 1.5*(±sqrt(8))=w
nun gibt es zwei möglichkeiten für w.
folgende kann man aber ausschliessen:
1.5*(-sqrt(8))=w
da es 2 lösungen geben muss, und desshalb die diskriminante in der algemeinen lösungsformel für quad gleichungen D>0 sein muss:
D=w^2-4*1*1>0 => w > ±4 => w > -4
(ich nehme an, das man sich hier doch auf die kleinere zahl beschränken kann)

nun bleibt noch die variante:
1.5*(sqrt(8))=w

in den lösungen wird aber angegeben:
w=-3*x1
ich kann mit dieser lösung aber nichts anfangen.
kann mir jemand weiterhelfen, oder sagen wo ich den fehler gemacht habe?
danke fürs zeitnehmen!
lg niemand

#2

Hallo niemand!

Um w zu berechnen machst du zwei Schritte:
zunächst ganz einfach pq-Formel:

x_{1/2}=-\frac{w}{2}\pm\sqrt{\frac{w^2}{4}-4}

Aus x_1=2x_2 folg:

-w+2\sqrt{\frac{w^2}{4}-4}=-\frac{w}{2}-\sqrt{\frac{w^2}{4}-4}

Das lässt sich relativ einfach auflösen, sodass du zwei Ergebnisse für w bekommst, dann noch zur Kontrolle einsetzen und schon bist du fertig!

Hoffe ich konnte helfen,
Matthias

und wieder einmal bin ich mir nicht sicher, ob die latex-grafiken sichtbar sind… vielleicht weiß jemand warum die bei mir nicht angezeigt werden?

#3

ok, danke für deine antwort.
wen man diese gleich die du da am schluss hergezaubert hast dan auflöst, dann bekommt man auch 3*sqrt(2)=1.5*sqrt(8).
(es gibt immernoch nur eine lösung)
das selbe meint sogar ein TI voyage 200.
aber dies ist immer noch nicht nie lösung w=-3*x1
nun, ich denke, das in diesem fall der fehler in den lösungen liegt.
danke für deine hilfe!!
lg niemand

ps: deine latexgraphiken zeigt es jedenfalls bei mir wunderbar an!
leider komme ich mit diesen latexcodes nicht zu rank. kennst du ein gutes tut? auch die in den faqs finde ich verwirrend…

#4

Hallo,

(es gibt immernoch nur eine lösung)

hast Du da etwa hopplahopp ne gültige Lösung verworfen? Es gibt zwei Polynome der Form x² + w x + 4, bei denen die eine Nullstelle doppelt so groß ist wie die andere, nämlich x² + 3√2 x + 4 und x² – 3√2 x + 4.

x1 x2 = 4 und x1 + x2 = –w und x1 = 2 x2
⇔ 2 x2 x2 = 4 und 2 x2 + x2 = –w
⇔ x22 = 2 und 3 x2 = –w
⇔ (x2 = √2 oder x2 = –√2) und w = –3 x2
⇔ w = –3√2 oder w = 3√2

aber dies ist immer noch nicht nie lösung w=-3*x1

Vermutlich nur ein Druckfehler, denn mit x2 statt x1 stimmt es ja.

leider komme ich mit diesen latexcodes nicht zu rank. kennst
du ein gutes tut? auch die in den faqs finde ich verwirrend…

Die „offizielle“ LaTeX2e-Kurzbeschreibung ist

ftp://ftp.mpi-sb.mpg.de/pub/tex/mirror/ftp.dante.de/…
ftp://ftp.mpi-sb.mpg.de/pub/tex/mirror/ftp.dante.de/…

(Inhaltlich sind beide PDFs identisch. Das erste ist für einseitige Druckausgabe formatiert, das zweite für zweiseitige Ausgabe.)

Gruß
Martin

#5

Dann will ich nochmal die Schritte die ich gemacht habe näher erläutern:
Die pq-Formel zum lösen von quadratishen Gleichung ist denke ich bekannt, oder? Ansonsten kann man auch über quadratische Ergänzung zu x1/2 kommen:

x^2+wx+4=x^2+wx+(\frac{w}{2})^2-(\frac{w}{2})^2+4=(x+\frac{w}{2})^2-(\frac{w}{2})^2+4

Man addiert etwas hinzu, sodass man die binomische Formel anwenden kann. Indem man es im gleichen Schritt wieder subtrahiert verändert man im endeffekt nichts. Durch das Ziehen der Wurzel erhälst du zwei mögliche Lösungen: eine positive und eine negative. So kommt man an x1/2 ran. Diese Lösungen werden dann in x_1=2x_2 eingestzt, welche Lösung du als x1 oder x2 ansiehst ist letztendlich egal.

2\sqrt{(\frac{w}{2})^2-4}-w=-\sqrt{(\frac{w}{2})^2-4}-\frac{w}{2}

3\sqrt{(\frac{w}{2})^2-4}=\frac{w}{2}

6\sqrt{(\frac{w}{2})^2-4}=w

36(\frac{w^2}{4}-4)=w^2

9w^2-144=w^2

w^2=18

w_{1/2}=\pm\sqrt{18}=\pm\sqrt{9}\sqrt{2}=\pm3\sqrt{2}

So, damit hab ich dir die Lösung präsentiert.
Wenn du sie in die ursprüngliche Gleichung einsetzt, wirst du als Lösungen bekommen:

x_1=-\sqrt{2},\qquad x_2=-2\sqrt{2}

Ich hoffe du hast was daraus gelernt, denn eigentlich soll ich ja nicht deine Arbeit machen.
Wenn du mehr zu Latex wissen willst würde ich das Kompendium auf Wikibooks empfehlen.
Liebe Grüße,
Matthias

#6

danke für deine ausführung zu w=-3x1
ich meine aber ich hätte sie berücksichtigt:

da ja in dem gegebenem fall q=4 und x2=(x1)/2:
x1 * (x1)/2=4 => x1^2 = 8 => x1 = ±sqrt(8)
x1 + (x1)/2=w => 1.5 * x1 = w => 1.5*(±sqrt(8))=w
nun gibt es zwei möglichkeiten für w.
folgende kann man aber ausschliessen:
1.5*(-sqrt(8))=w
da es 2 lösungen geben muss, und desshalb die diskriminante in der :algemeinen lösungsformel für quad gleichungen D>0 sein muss:
D=w^2-4*1*4>0 => w > ±4 => w > -4
(ich nehme an, das man sich hier doch auf die kleinere zahl :beschränken kann)
nun bleibt noch die variante:
1.5*(sqrt(8))=w

oder nicht?
den in der lösung ist ja trozdem nur eine lösung angegeben

#7

ok, das habe ich nun verstanden, thx!
danke für die ausführungen!!!

#8

danke für deine ausführung zu w=-3x1
ich meine aber ich hätte sie berücksichtigt:

…

oder nicht?
den in der lösung ist ja trozdem nur eine lösung angegeben.

„w = –3 x1“ bzw. korrekt „w = –3 x2“ als „Lösung“ anzugeben, finde ich dubios. Keine Ahnung, was der Autor sich dabei gedacht haben könnte. Fest steht, was ich schon sagte: Es gibt zwei Polynome der Form x² + w x + 4, deren eine Nullstelle (die betragsgrößte – klar) doppelt so groß ist wie die andere, nämlich das Polynom für w = 3√2 und das für w = –3√2. Das würde ich unter der Lösung dieser Aufgabe verstehen.

Bei Deiner Argumentation mit der Diskriminante machst Du einen Fehler:

da es 2 lösungen geben muss, und desshalb die diskriminante in der :algemeinen lösungsformel für quad gleichungen D>0 sein muss:
D=w^2-4*1*4>0 => w > ±4 => w > -4

D = (w/2)2 – 4

D ≥ 0 ⇔ (w/2)2 ≥ 4 ⇔ w2 ≥ 16

w2 ≥ 16 ist für w ≥ 4 erfüllt, aber auch für w ≤ –4 (!)

(ich nehme an, das man sich hier doch auf die kleinere zahl :beschränken kann)

Nochmal durchüberlegen :smile:

#9

danke an alle!!!
ah danke, nun habe ich es komplett verstanden!
danke für eure bemühungen!!
lg niemand