hallo zusammen:
da habe ich ein „putziges“ Gleichungssystem im Netz gefunden.
wer Spaß daran hat, kann sich daran mal üben
x² = 17x + y
y² = x + 17y
gesucht wir N I C H T x und y
sondern: Wurzel( x² + y² +1) = ? (mit x und y sind unterschiedlich)
Lösungsweg hierzu gewünscht?
Bitte melden.
LG
Ralf
Hi!
Hmm. Ich sehe in der Aufgabe keine Schwierigkeit, allerdings ergibt sich so auch keine eindeutige Lösung. Fehlt da ggf was? Dafür hab ich grade festgestellt, was das Forum so kann…
Die ersten beiden Zeilen kann man addieren, dann etwas quadratische Ergänzung:
x² + y² = 18x + 18y
x² - 18x + y² - 18y = 0 | +81 +81
x² - 18x + y² - 18y +81 +81= 162
(x-9)² + (y-9)² = 162
also letztlich ein Kreis bei (9|9) mit Radius r = sqrt(162) = 9 * sqrt(2)
Das kann man auch so schreiben, mit 0 <= t < 2π
x = r sin(t) + 9
y = r cos(t) + 9
und damit:
sqrt(x² + y² +1) =
sqrt((r sin(t) + 9)²+(r cos(t) + 9)² +1)
sqrt(r²+ 9r(sin(t)+cos(t)) + 81+1) =
sqrt(r²+ 9r sqrt(2) sin(t+π/4)) + 81+1)
Und nu? Der sin-Term nimmt Werte zwischen -1 und 1 an, und damit nimmt der Ausdruck Werte zwischen
sqrt(r²+ 82 -9r sqrt(2) ) ) = sqrt(82) = ~9,06
und
sqrt(r²+ 82 +9r sqrt(2) ) ) = sqrt(406) = ~20,15
an.
Nachtrag:
Gefordert wird noch x!=y, also t != π/4 und t != 5π/4. Das eingesetzt ergibt, daß die Werte sqrt(244 +/- 81 sqrt(2)), also etwa 11,38 und 18,94 ausgenommen sind.
Noch ein Nachtrag. Hab mich natürlich verrechnet, in der vorletzten Zeile der Umformungen habe ich 81 geschrieben, es muß aber 162 heißen. Daraus folgt dann
sqrt(163)… sqrt(487) = 12,77…22,07
Hallo sweber
Gerne morgen mehr dazu, denn aktuell kann ich am Handy nicht „richtig“ schreiben.
Nur soviel:
Addieren beide Zeilen - wie gemacht.
Und substrahiere beide Zeilen.
Den term x^2 - y^2 dann zerlegen.
Gleichung kürzen und in additionsgleichung einsetzen.
Mehr dann morgen bzw nachher am „richtigen“ PC.
LG Ralf
√(x² + y² +1) = 17
Gruß
Metapher
Hi!
Sach ma, was hat mich gestern abend eigentlich geritten?
Just for fun habe ich die ersten beiden Gleichungen in Geogebra gezeichnet. Das sind zwei Parabeln mit vier Schnittpunkten:
Mein CAS liefert (8-4sqrt(5) | 8+4sqrt(5)) für den linken oberen, und ( 8-4sqrt(5) | 8+4sqrt(5)) für den unteren rechten Punkt.
Und damit für sqrt(x²+y+1):
x=0; y=0sqrt(x²+y²+1)=1
x=18; y=18sqrt(x²+y²+1)= 5 sqrt(26) = ~25,50
x=8-4sqrt(5); y= 8+4sqrt(5)x=8+4sqrt(5); y= 8-4sqrt(5)
sqrt(x²+y²+1)=17
Nun soll x!=y gelten, und damit bleibt 17 als einzige Lösung, ganz so, wie @Metapher es geschrieben hat.
Der Einsatz eines CAS bedeutet natürlich, dass hier der Lösungsweg fehlt, aber zumindest verifiziert es die 17 nochmal.
hallo sweber
nachfolgende Seite hab ich geschrieben:
I) X² = 17x + y
II) Y² = x + 17Y
Gesucht: √(x^2+y^2+1) = ?
Lösungsweg, wie ich ihn im Netz gefunden habe:
I)– II): x² - y² = 16x - 16y
(x + y)(x – y) = 16(x - y)
x + y = 16
I)+ II): x² + y² = 18x + 18y
x² + y² = 18(x + y) einsetzen x + y= 16
x² + y² = 18 x 16
jetzt: FINGER WEG VOM TASCHENECHNER!!!; denn
x² + y² = (17 + 1)(17 – 1)
x² + y² = 17² - 1² auf beiden Seiten +1
X² + y² + 1 = 17²
Wurzel ziehen auf beiden Seiten ergibt das Ergebnis
die seiten habe ich aus dem internet; ist also nicht auf meinem Mist gewachsen . . .