Ich bräuchte zu den 3 oben genannten Themen, eine kurze Zusammenfassung sozusagen ein schneller Wiederholungskurs. Schreibe darüber nächste Woche eine Arbeit & verstehe noch nicht alles.
Wäre sehr nett & schon mal Danke im Vorraus.
Lg Appelchen
Quadratische Ergänzung und PQ-Formel gehören zum selben Thema: Lösung von quadratischen Gleichungen. Aber Potenzen? Da müsstest Du Dich mal genauer ausdrücken!
Gegeben die quatratische Gleichung
x² + p*x + q = 0
Als Lösungsansatz addiert man auf jeder Seite der Gleichung einen von x unabhängigen Term mit dem Ziel, einen Term der Form (x+a)² zu erhalten und sonst nur noch von x unabhängige Terme in der Gleichung.
Nun ist
(x+a)² = x² + 2*a*x + a²
Ein Vergleich mit der quadratischen Gleichung zeigt, dass man das Ziel erreicht, wenn man 2*a = p wählt und auf beiden Seiten der Gleichung a², also (p/2)², addiert (quadratische Ergänzung!).
Dann lautet die Gleichung
x² + 2*(p/2)*x + (p/2)² + q = (p/2)²
Fasst man die ersten drei Terme zusammen, und subtrahiert man noch auf beiden Seiten q, so ergibt sich
(x+p/2)² = (p/2)² - q
Diese Gleichung lässt sich leicht nach x auflösen! Man zieht auf beiden Seiten die Quadratwurzel und subtrahiert dann noch auf beiden Seiten p/2. Dabei muss man beachten, dass sowohl +w als auch -w die
Quadradwurzeln von w² sind.
Für x ergeben sich die beiden Lösungen
x1 = -p/2 + Wurzelaus((p/2)² - q)
x2 = -p/2 - Wurzelaus((p/2)² - q)
Diese Darstellung bezeichnet man als p-q-Formel.
Da eine negative Zahl im Reellen keine Quadratwurzel hat, kann man über die Lösungen noch folgende Aussagen machen:
(p/2)² - q kleiner als 0: keine reelle Lösung
(p/2)² - q = 0: zwei gleiche reelle Lösungen
(p/2)² - q größer als 0: zwei verschiedene reelle Lösungen
enricoernesto