Quadratische Funktion - Problem

Wissenschaft Physik
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Hallöchen,

ich hab in Mathe einige Aufgaben erhalten, die im Grunde alle realtiv leicht zu lösen waren. Allerdings komme ich bei einer einfach nicht auf den Lösungsweg. Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:

Eine Parabel der Form:

 y = a <sup>.</sup> (x - x<sub>2</sub>) + y<sub>2</sub>

hat den Scheitelpunkt (-4|3) und geht durch P (-5,5|1,2). Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Parabel.

Die Lösung lautet:

 y = 0,8 <sup>.</sup> (x + 4)<sup>2</sup> + 3

Ich komme auf die 4 und auf die 3 allerdings nicht auf die 0.8. Ich versteh den Lösungsweg nicht, weil mir auch keiner vorliegt. Ich habs 10x probiert, aber es scheint für mich derzeit unlösbar.

Kann mir vll. bitte jemand helfen?

2

Hallo,

[…] und geht durch P (-5,5|1,2). Bestimmen Sie die
Funktionsgleichung der Parabel.

wann immer irgendeine Funktion y(x) durch den Punkt P(–5.5 | 1.2) gehen soll, kannst Du diese Bedingung ausdrücken durch

y(–5.5) = 1.2

Hier ist der y(x)-Funktionsterm bekannt: y(x) = a (x + 4)2 + 3. Also ist y(–5.5) auch gegeben durch

y(–5.5) = a (–5.5 + 4)2 + 3

Damit hast Du zwei Gleichungen, auf deren linken Seiten dasselbe steht (hier y(–5.5)). Dann müssen auch die beiden rechten Seiten identisch sein (aus a = b und a = c folgt b = c):

a (–5.5 + 4)2 + 3 = 1.2

Das ist eine Gleichung für die Unbekannte a.

a = (1.2 – 3) / (–5.5 + 4)2 = … = –0.8

Ergebnis: a = –0.8

Die Lösung lautet:

y = 0,8

Wer behauptet das?

Gruß
Martin

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Huhu,

die Parabel muss nach unten geöffnet sein, sonst kann der zweite gegebene Punkt (-5,5|1,2) nicht UNTERHALB des Scheitelpunktes (-4|3) liegen. Das heist schonmal, a muss NEGATIV sein. Ein Quadrat hast du an der Klammer auch noch vergessen. das geht meist, indem mann sich eine Gleichung hernimmt und die nach einer Unbek. auflöst, dise Lösung für die Unbek. in die nächste Gleichung einsetzt und die nach der nächsten unbek. auflöst usw. bis am Ende für die letzte noch in der Gleichung befindliche Unbek. ein Zahlenwert rauskommt. Die Werte der anderen Unbek. bekommt man dann, indem man die Zahlenwerte nun in die zuvor geformten Gleichungen einsetzt. Oft lohnt es sich, sich die Gleichungen erstmal in Ruhe anzusehen, weil es eine Menge Abkürzungen geben kann. So kann es sein, dass ine Gleichung schon direkt eine Unbekannte liefert oder dass zwei Gleichungen geschickt kombiniert (addiert) werden können, so dass gleich mehrere Unbek. rausfliegen usw.

Zu deinem konkreten Fall:

Du hast drei Unbekannte (x2, y2, a). Aus den Angaben musst du also 3 Gleichungen aufstellen können, anhand derer du dann die drei Unbek. ausrechnen kannst.

Als ein möglicher Lösungsweg bietet sich folgender an:

… hat den Scheitelpunkt (-4|3)

bedeutet, dass bei x=-4 die erste Abl. gleich Null ist. Also bilden wir die erste Abl.:

y = a(x+x2)² + y2
y’ = 1 * a(x+x2) + 0 [Kettenregel: innere Abl. mal äußere Abl.]
y’ = a(x+x2) = a*x + a*x2

Nun die Werte einsetzen (und dann auflösen nach x2):

0 = a*(-4) + a*x2
4*a = a*x2
4 = x2

Damit haben wir schonmal x2. Bleiben 2 Unbekannte.

Anhand der zwei gegebenen Koordinaten stellen wir die zwei nötigen Gleichungen auf (x und y einsetzen in y = a(x+x2)² + y2):

[1] 3 = a(-4 +x2)² + y2
[2] 1.2 = a(-5.5+x2)² + y2

x2 kennen wir ja schon, also können wir das auch gleich einsetzen:

[1] 3 = a(-4 +4)² + y2 = a(0)² + y2
[2] 1.2 = a(-5.5+4)² + y2 = a(-1.5)² + y2

In Gl.1 fällt der term mit der Klammer raus, weil mit Null multipliziert wird. Somit bleibt:

[1] 3 = y2

was auch direkt schon den Wert von y2 angibt. Jetzt fehlt nur noch a, und das erhalten wir, wenn wir das jetzt bekannte y2 in Gl.2 einsetzen:

[2] 1.2 = a(-1.5)² + 3

Nach a auflösen:

1.2-3 = a(-1.5)²
(1.2-3)/(-1.5)² = a
-1.8/2.25 = a
-0.8 = a

Das war’s.

LG
Jochen

4

Moin,

Du willst doch beim Lösen der Aufgaben bestimmt noch was lernen/wiederholen?
Die einfachste Parabel ist doch y = x2. Die hat den Scheitel bei (0,0). Wenn ein Faktor a dazukommt, also y = ax2, wird die Parabel nur gestaucht oder gestreckt und/oder nach unten gespiegelt. Der Scheitel bleibt bei (0,0).
Wenn ein Summand dazukommt, also y = ax2 + y2, dann wird die Parabel nach oben oder unten geschoben, der Scheitel ist dann bei (0,y2).
Wenn bei dem x in der Klammer ein Summand dazukommt, also y = a(x - x2)2 + y2, dann schiebt der die Parabel zusätzlich noch nach links oder rechts. Ich hoffe Du zeichnest und probierst mit? Man könnte sich das auch so vorstellen, dass die Parabel bleibt und das ganze Koordinatensystem verschoben wird. Na jedenfalls ist der Scheitel jetzt bei (x2,y2).
Du hast nun Deine Parabel schon in dieser Scheitelpunkts-Form gegeben. Dazu die Koordinaten des Scheitelpunktes, also kannst Du sofort x2 = -4 und y2 = 3 ablesen, so wie das Martin auch gemacht hat. Das a auszurechnen ist ja dann einfach.
Der Weg von Jo ist natürlich auch richtig, allerdings viel zu kompliziert und nicht im Sinne des Aufgabenautors. Wenn die Parabel in der allgemeinen Form y = ax2 + bx + c gegeben wäre, dann hätte man diesen Weg aber gehen müssen.
Schönen Tag noch.

Olaf

5

Moin auch,

Der Weg von Jo ist natürlich auch richtig, allerdings viel zu
kompliziert und nicht im Sinne des Aufgabenautors. Wenn die
Parabel in der allgemeinen Form y = ax2

  • bx + c gegeben wäre, dann hätte man diesen Weg aber gehen
    müssen.
    Schönen Tag noch.

um meine Ehre zu retten :smile: : man hätte das dann vielleicht auch in die Form y = a(x+x2)+y2 umformen können…

Jochen

6

Hi,

ja die Antwort von Jo kam mir auch ein wenig kompliziert vor, aber trotzdem vielen Dank auch an Jo!

Danke dir auch für die „leichtere“ Erklärung.

@Martin.

Was ich in der Gleichung nicht verstehe ist: y(x) = a (x + 4)2 + 3

Warum nimmt dort y(x) den Wert -5,5 ein? Y ist doch 1,2?

Deine Lösung war übrigens richtig mit -0,8 habs vergessen anzugeben, möge man mir verzeihen :smile:

7

Hoi nochmal,

habs jetzt mal selber mit Euren Hilfen nachgerechnet und es hat geklappt. Also vielen Dank nochmal. Ist echt nen super Board hier :smile:

LG

8

Hallo,

Was ich in der Gleichung nicht verstehe ist: y(x) = a (x + 4)2 + 3

Warum nimmt dort y(x) den Wert -5,5 ein? Y ist doch 1,2?

ja, für x = –5.5 ist y(x) = 1.2. Das kann man noch kompakter ausdrücken durch y(–5.5) = 1.2.

Folgende vier Aussagen sind alle zueinander äquivalent:

(1) Der Graph der Funktion y(x) verläuft durch den Punkt (–5.5 | 1.2).

(2) Die Funktion y(x) nimmt an der Stelle –5.5 den Wert 1.2 an.

(3) Für x = –5.5 ist y(x) = 1.2.

(4) y(–5.5) = 1.2

Gruß
Martin