Quadratische Gleichung mit komplexen Zahlen

Wissenschaft Mathematik
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Ich komme bei quadratischen Aufgaben (im Bereich der kompl. Zahlen) gar nicht klar bzw. kam noch nie mit quadr. Gleichungen in irgendeinem Zahlenbereich zurecht-.-

Gegeben sei folgende Aufgabe:

x²+6x+9+2i=0
ich erhalte mittels quadratischer ergänzung:
(x+3)² +2i=0 bzw. (x+3)² = -2i
und nun kommt ja substitution, oder? wie genau muss ich hier vorgehen?
z = x-3
z²= a+bi

und wie geht es nun weiter?

kann mir bitte jemand schritt für schritt helfen? es ist wirklich wichtig dass ich das mal schnalle. selbst mit wikipedia komm ich net weit.
danke!

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moin;

ich persönlich musste solche Aufgaben nie lösen, darum kann es sein, dass der Lösungsweg nicht wirklich optimal ist.

allerdings gilt:
(a,b)*(a,b)=(a²-b²,2ab)
sowie
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)

damit gilt also: (sei x=(y,z))
((y,z)+(3,0))*((y,z)+(3,0))=(0,-2)
(y+3,z)*(y+3,z)=(0,-2)
0=(y+3)²-z² , -2=2z(y+3)

Für diese Gleichungen finde ich zwei Lösungen, bei denen die Koeffizienten reell sind, nämlich (-4,1) und (-2,-1).

mfG

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Hey,

die Lösungen können nicht sein, da in der Ausgangsgleichung die komplexe Zahl i steht…und mit reellen Lösungen bekommst des nicht weg.

Im Prinzip war die Rechnung richtig…es fehlte nur der letzte Schritt:

x^2+6x+9+2i=0

(x+3)^2=-2i

x_{1,2}+3=\pm \sqrt{-2i}

x_{1,2}=\pm \sqrt{-2i} - 3

Wenn man möchte, kann man jetzt noch teilweise Wurzelziehen, indem man sagt, dass -1 = i².

x_{1,2}=\pm \ i \cdot \sqrt{2i} - 3

Gruß René

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Hallo TheBozz,

warum löst Du denn die Wurzel nicht auf?

x_{1,2}+3=\pm \sqrt{-2i}

=\pm (i - 1)

Gruß
Martin

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Hey Martin,

damit es was zu meckern gibt :smile: Müssen doch die Moderatoren hier ein wenig beschäftigen :smile:

Aber vielen Dank für den Hinweis.
Schon ein Weilchen her, dass ich komplexe Zahlen hatte und dies ist nicht so einfach zu sehen - aber durch die binomischen Formeln recht einfach nachzuvollziehen :smile:

Wünsche noch einen schönen Abend
Gruß René

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moin;

Die Lösungen sind nicht reell, lediglich die Koeffizienten.
Sei x=y+zi, dann gelten für x=(y,z) die Rechenregeln in meinem obigen Post für die komplexen Zahlen.

ich habe eben nachgerechnet, und mit meinen Lösungen komme ich ebenfalls auf das richtige Ergebnis:

sei f(x)=x²+6x+9+2i

dann ist f((-4,1))=f(-4+i)=(-4+i)²+6(-4+i)+9+2i=19-8i+i²-28+6i+9+2i=0
sowie f((-2,-1))=f(-2-i)==(-2-i)²+6(-2-i)+9+2i=4+4i+i²-12-6i+9+2i=0

mfG

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damit es was zu meckern gibt :smile:

harhar :wink:

dies ist nicht so einfach zu sehen

Aber doch! Es ist buchstäblich zu sehen, und zwar ganz leicht. Denk an die Gaußsche Zahlenebene und markier darin vor Deinem geistigen Auge –2 i. Der Zeiger ist 2 lang und weist senkrecht nach unten. Quadratwurzeln haben halben Winkel und quadratwurzelige Länge (you know?). Der Zeiger von √(–2 i) muss folglich „mittig schräg links hoch“ gehen und √2 lang sein ⇒ –1 + i.

binomischen Formeln recht einfach nachzuvollziehen :smile:

Wer nicht sehen kann, muss rechnen :smile:

Gute Nacht
Martin